Calcule o determinante das matrizes abaixo:
a)
b)
c) (ccc-1 & -4 & -6 0 & -2 & -5 0 & 0 & -3)
d) (llll1 & 3 & 2 & 0 3 & 1 & 0 & 2 2 & 3 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & 3)
e) (llll0 & a & b & 1 0 & 1 & 0 & 0 a & a & 0 & b 1 & b & a & 0)
f) (lllll1 & 2 & 3 & 4 & 5 0 & a & 1 & 2 & 3 0 & 0 & b & 1 & 2 0 & 0 & 0 & c & 1 0 & 0 & 0 & 0 & d)
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício, que pede para calcular o determinante da seguinte matriz 2x2:
3 & -1 4 & 2
Para isso, vamos utilizar o conteúdo de determinantes de matrizes 2x2. Precisamos saber a fórmula para calcular o determinante de uma matriz 2x2.
Passo 2
A fórmula para calcular o determinante de uma matriz 2x2 a & b c & d é:
det = ad - bc
Isso significa que multiplicamos os elementos da diagonal principal ( e ) e subtraímos o produto dos elementos da diagonal secundária ( e ).
Passo 3
Identificando os elementos da matriz dada:
a = 3, b = -1, c = 4, d = 2
Passo 4
Aplicando a fórmula do determinante:
det = (3 times 2) - (-1 times 4)
Passo 5
Calculando os valores:
3 times 2 = 6
-1 times 4 = -4
det = 6 - (-4) = 6 + 4 = 10
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício, que solicita o cálculo do determinante da seguinte matriz 3x3:
1 & 3 & 4 5 & 2 & -3 1 & 4 & 2
Para isso, vamos usar o método de expansão por cofatores (também conhecido como regra de Sarrus para matrizes 3x3). Precisamos saber como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 7
A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 a & b & c d & e & f g & h & i é:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Isso significa que multiplicamos e subtraímos os produtos dos elementos conforme a fórmula.
Passo 8
Identificando os elementos da matriz dada:
a = 1, b = 3, c = 4
d = 5, e = 2, f = -3
g = 1, h = 4, i = 2
Passo 9
Aplicando a fórmula do determinante:
det = 1 times (2 times 2 - (-3) times 4) - 3 times (5 times 2 - (-3) times 1) + 4 times (5 times 4 - 2 times 1)
Passo 10
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
2 times 2 = 4
-3 times 4 = -12
4 - (-12) = 16
1 times 16 = 16
Segundo termo:
5 times 2 = 10
-3 times 1 = -3
10 - (-3) = 13
-3 times 13 = -39
Terceiro termo:
5 times 4 = 20
2 times 1 = 2
20 - 2 = 18
4 times 18 = 72
Agora, somando todos os termos:
16 - 39 + 72 = 49
Passo 11
Vamos resolver a parte c) do exercício, que pede para calcular o determinante da seguinte matriz 3x3 triangular inferior:
-1 & -4 & -6 0 & -2 & -5 0 & 0 & -3
Neste caso, vamos aproveitar que a matriz é triangular (neste caso, triangular inferior), o que simplifica o cálculo do determinante.
Passo 12
Para matrizes triangulares (superior ou inferior), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Isso é válido porque, nesse tipo de matriz, os elementos acima (ou abaixo) da diagonal são zeros, facilitando o cálculo.
Passo 13
Identificando os elementos da diagonal principal:
a11 = -1, a22 = -2, a33 = -3
Passo 14
Calculando o produto dos elementos da diagonal:
det = (-1) times (-2) times (-3)
Passo 15
Efetuando a multiplicação:
-1 times -2 = 2
2 times -3 = -6
Passo 16
Agora, vamos resolver a parte d) do exercício, que solicita o cálculo do determinante da seguinte matriz 4x4:
Para matrizes maiores que 3x3, podemos usar a expansão por cofatores ou reduzir a matriz a uma forma triangular. Optaremos por expansão por cofatores para facilitar o entendimento.
Passo 17
A expansão por cofatores envolve escolher uma linha ou coluna e calcular o determinante a partir dos menores cofatores. É mais eficiente escolher a linha ou coluna com mais zeros, mas neste caso, não há zeros adicionais, então podemos escolher a primeira linha.
Passo 18
Escolhendo a primeira linha a11 = 1, a12 = 3, a13 = 2, a14 = 0 , os elementos são:
Passo 19
Aplicando a expansão por cofatores na primeira linha:
det = a11C11 - a12C12 + a13C13 - a14C14
Onde é o cofator correspondente.
Passo 20
Calculando cada cofator:
Para 1 & 0 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 3 :
Removendo a primeira linha e primeira coluna:
det1 = 1(0 times 3 - 1 times 1) - 0(3 times 3 - 1 times 2) + 2(3 times 1 - 0 times 2) = 1(0 -1) - 0(9 -2) + 2(3 -0) = -1 + 0 + 6 = 5
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
3 & 0 & 2 2 & 0 & 1 0 & 1 & 3
Então, det2 = 3(0 times 3 - 1 times 1) - 0(2 times 3 - 1 times 0) + 2(2 times 1 - 0 times 0) = 3(0 -1) - 0(6 -0) + 2(2 -0) = -3 + 0 + 4 = 1 .
Para 3 & 1 & 2 2 & 3 & 1 0 & 2 & 3 :
Removendo a primeira linha e segunda coluna:
det3 = 3(3 times 3 - 1 times 2) - 1(2 times 3 - 1 times 0) + 2(2 times 2 - 3 times 0) = 3(9 -2) -1(6 -0) +2(4 -0) = 3(7) -6 +8 = 21 -6 +8 = 23
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
Então, .
Para :
Removendo a primeira linha e terceira coluna:
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
Então, .
Para :
Como este elemento é zero, o termo correspondente será zero, então não precisamos calcular o cofator.
Passo 21
Substituindo na fórmula da expansão por cofatores:
det = 1 times 5 - 3 times 1 + 2 times 23 - 0 times C14 = 5 - 3 + 46 - 0 = 48
Passo 22
Vamos resolver a parte e) do exercício, que pede para calcular o determinante da seguinte matriz 4x4 com variáveis:
0 & a & b & 1 0 & 1 & 0 & 0 a & a & 0 & b 1 & b & a & 0
Para calcular este determinante, vamos utilizar a expansão por cofatores e simplificar ao máximo, considerando as variáveis presentes.
Passo 23
Primeiro, observamos que a primeira coluna possui dois zeros, o que facilita a expansão. Vamos expandir o determinante pela primeira coluna.
Passo 24
Escolhendo a primeira coluna a11 = 0, a21 = 0, a31 = a, a41 = 1 , os elementos são:
Passo 25
Aplicando a expansão por cofatores na primeira coluna:
det = a11C11 - a21C21 + a31C31 - a41C41
Mas como det = a times C31 - 1 times C41 e , os dois primeiros termos serão zero. Restam:
Passo 26
Calculando cada cofator restante:
Para a & b & 1 1 & 0 & 0 b & a & 0 :
Removendo a terceira linha e primeira coluna:
det1 = a(0 times 0 - 0 times a) - b(1 times 0 - 0 times b) + 1(1 times a - 0 times b) = a(0 -0) - b(0 -0) +1(a -0) = 0 -0 +a = a
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
a & b & 1 1 & 0 & 0 a & 0 & b
Então, det2 = a(0 times b - 0 times 0) - b(1 times b - 0 times a) +1(1 times 0 - 0 times a) = a(0 -0) - b(b -0) +1(0 -0) = 0 - b^2 +0 = -b^2 .
Para :
Removendo a quarta linha e primeira coluna:
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
Então, .
Passo 27
Substituindo na fórmula da expansão:
det = a times a - 1 times (-b^2) = a^2 + b^2
Passo 28
Por fim, vamos resolver a parte f) do exercício, que solicita o cálculo do determinante da seguinte matriz 5x5 triangular superior com variáveis:
Para esta matriz triangular superior, o cálculo do determinante é simplificado.
Passo 29
Como a matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.