Calcule o determinante das matrizes abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício, que pede para calcular o determinante da seguinte matriz 2x2:
Para isso, vamos utilizar o conteúdo de determinantes de matrizes 2x2. Precisamos saber a fórmula para calcular o determinante de uma matriz 2x2.

Passo 2

A fórmula para calcular o determinante de uma matriz 2x2 é:
Isso significa que multiplicamos os elementos da diagonal principal ( e ) e subtraímos o produto dos elementos da diagonal secundária ( e ).

Passo 3

Identificando os elementos da matriz dada:

Passo 4

Aplicando a fórmula do determinante:

Passo 5

Calculando os valores:

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício, que solicita o cálculo do determinante da seguinte matriz 3x3:
Para isso, vamos usar o método de expansão por cofatores (também conhecido como regra de Sarrus para matrizes 3x3). Precisamos saber como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 7

A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
Isso significa que multiplicamos e subtraímos os produtos dos elementos conforme a fórmula.

Passo 8

Identificando os elementos da matriz dada:

Passo 9

Aplicando a fórmula do determinante:

Passo 10

Calculando cada parte:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Agora, somando todos os termos:

Passo 11

Vamos resolver a parte c) do exercício, que pede para calcular o determinante da seguinte matriz 3x3 triangular inferior:
Neste caso, vamos aproveitar que a matriz é triangular (neste caso, triangular inferior), o que simplifica o cálculo do determinante.

Passo 12

Para matrizes triangulares (superior ou inferior), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Isso é válido porque, nesse tipo de matriz, os elementos acima (ou abaixo) da diagonal são zeros, facilitando o cálculo.

Passo 13

Identificando os elementos da diagonal principal:

Passo 14

Calculando o produto dos elementos da diagonal:

Passo 15

Efetuando a multiplicação:

Passo 16

Agora, vamos resolver a parte d) do exercício, que solicita o cálculo do determinante da seguinte matriz 4x4:
Para matrizes maiores que 3x3, podemos usar a expansão por cofatores ou reduzir a matriz a uma forma triangular. Optaremos por expansão por cofatores para facilitar o entendimento.

Passo 17

A expansão por cofatores envolve escolher uma linha ou coluna e calcular o determinante a partir dos menores cofatores. É mais eficiente escolher a linha ou coluna com mais zeros, mas neste caso, não há zeros adicionais, então podemos escolher a primeira linha.

Passo 18

Escolhendo a primeira linha , os elementos são:

Passo 19

Aplicando a expansão por cofatores na primeira linha:
Onde é o cofator correspondente.

Passo 20

Calculando cada cofator:
  1. Para :
Removendo a primeira linha e primeira coluna:
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
Então, .
  1. Para :
Removendo a primeira linha e segunda coluna:
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
Então, .
  1. Para :
Removendo a primeira linha e terceira coluna:
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
Então, .
  1. Para :
Como este elemento é zero, o termo correspondente será zero, então não precisamos calcular o cofator.

Passo 21

Substituindo na fórmula da expansão por cofatores:

Passo 22

Vamos resolver a parte e) do exercício, que pede para calcular o determinante da seguinte matriz 4x4 com variáveis:
Para calcular este determinante, vamos utilizar a expansão por cofatores e simplificar ao máximo, considerando as variáveis presentes.

Passo 23

Primeiro, observamos que a primeira coluna possui dois zeros, o que facilita a expansão. Vamos expandir o determinante pela primeira coluna.

Passo 24

Escolhendo a primeira coluna , os elementos são:

Passo 25

Aplicando a expansão por cofatores na primeira coluna:
Mas como e , os dois primeiros termos serão zero. Restam:

Passo 26

Calculando cada cofator restante:
  1. Para :
Removendo a terceira linha e primeira coluna:
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
Então, .
  1. Para :
Removendo a quarta linha e primeira coluna:
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
Então, .

Passo 27

Substituindo na fórmula da expansão:

Passo 28

Por fim, vamos resolver a parte f) do exercício, que solicita o cálculo do determinante da seguinte matriz 5x5 triangular superior com variáveis:
Para esta matriz triangular superior, o cálculo do determinante é simplificado.

Passo 29

Como a matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 30

Identificando os elementos da diagonal principal:

Passo 31

Calculando o produto dos elementos da diagonal:

Resposta

O determinante da matriz f) é .

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a)
b)
c)