Calcule o determinante das matrizes abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício, que pede para calcular o determinante da seguinte matriz 2x2:
Para isso, vamos utilizar o conteúdo de determinantes de matrizes 2x2. Precisamos saber a fórmula para calcular o determinante de uma matriz 2x2.
Passo 2
A fórmula para calcular o determinante de uma matriz 2x2 é:
Isso significa que multiplicamos os elementos da diagonal principal ( e ) e subtraímos o produto dos elementos da diagonal secundária ( e ).
Passo 3
Identificando os elementos da matriz dada:
Passo 4
Aplicando a fórmula do determinante:
Passo 5
Calculando os valores:
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício, que solicita o cálculo do determinante da seguinte matriz 3x3:
Para isso, vamos usar o método de expansão por cofatores (também conhecido como regra de Sarrus para matrizes 3x3). Precisamos saber como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 7
A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
Isso significa que multiplicamos e subtraímos os produtos dos elementos conforme a fórmula.
Passo 8
Identificando os elementos da matriz dada:
Passo 9
Aplicando a fórmula do determinante:
Passo 10
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Agora, somando todos os termos:
Passo 11
Vamos resolver a parte c) do exercício, que pede para calcular o determinante da seguinte matriz 3x3 triangular inferior:
Neste caso, vamos aproveitar que a matriz é triangular (neste caso, triangular inferior), o que simplifica o cálculo do determinante.
Passo 12
Para matrizes triangulares (superior ou inferior), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Isso é válido porque, nesse tipo de matriz, os elementos acima (ou abaixo) da diagonal são zeros, facilitando o cálculo.
Passo 13
Identificando os elementos da diagonal principal:
Passo 14
Calculando o produto dos elementos da diagonal:
Passo 15
Efetuando a multiplicação:
Passo 16
Agora, vamos resolver a parte d) do exercício, que solicita o cálculo do determinante da seguinte matriz 4x4:
Para matrizes maiores que 3x3, podemos usar a expansão por cofatores ou reduzir a matriz a uma forma triangular. Optaremos por expansão por cofatores para facilitar o entendimento.
Passo 17
A expansão por cofatores envolve escolher uma linha ou coluna e calcular o determinante a partir dos menores cofatores. É mais eficiente escolher a linha ou coluna com mais zeros, mas neste caso, não há zeros adicionais, então podemos escolher a primeira linha.
Passo 18
Escolhendo a primeira linha , os elementos são:
Passo 19
Aplicando a expansão por cofatores na primeira linha:
Onde é o cofator correspondente.
Passo 20
Calculando cada cofator:
Para :
Removendo a primeira linha e primeira coluna:
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
Então, .
Para :
Removendo a primeira linha e segunda coluna:
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
Então, .
Para :
Removendo a primeira linha e terceira coluna:
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
Então, .
Para :
Como este elemento é zero, o termo correspondente será zero, então não precisamos calcular o cofator.
Passo 21
Substituindo na fórmula da expansão por cofatores:
Passo 22
Vamos resolver a parte e) do exercício, que pede para calcular o determinante da seguinte matriz 4x4 com variáveis:
Para calcular este determinante, vamos utilizar a expansão por cofatores e simplificar ao máximo, considerando as variáveis presentes.
Passo 23
Primeiro, observamos que a primeira coluna possui dois zeros, o que facilita a expansão. Vamos expandir o determinante pela primeira coluna.
Passo 24
Escolhendo a primeira coluna , os elementos são:
Passo 25
Aplicando a expansão por cofatores na primeira coluna:
Mas como e , os dois primeiros termos serão zero. Restam:
Passo 26
Calculando cada cofator restante:
Para :
Removendo a terceira linha e primeira coluna:
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
Então, .
Para :
Removendo a quarta linha e primeira coluna:
Calculando o determinante desta matriz 3x3:
Então, .
Passo 27
Substituindo na fórmula da expansão:
Passo 28
Por fim, vamos resolver a parte f) do exercício, que solicita o cálculo do determinante da seguinte matriz 5x5 triangular superior com variáveis:
Para esta matriz triangular superior, o cálculo do determinante é simplificado.
Passo 29
Como a matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.