Determinar o valor de para que seja de o ângulo entre os planos

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar o valor de para que o ângulo entre os planos e seja de . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula que relaciona o ângulo entre dois planos com os vetores normais desses planos.

Passo 2

Para calcular o ângulo entre dois planos, precisamos primeiro identificar os vetores normais de cada plano. Um vetor normal de um plano é um vetor perpendicular a ele e pode ser obtido a partir dos coeficientes de , e na equação do plano.

Passo 3

Vamos identificar os vetores normais dos planos fornecidos:
  • Para o plano , o vetor normal é .
  • Para o plano , o vetor normal é .

Passo 4

A fórmula para calcular o cosseno do ângulo entre dois vetores e é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (ou magnitudes) dos vetores.

Passo 5

Aplicando essa fórmula aos vetores normais e , temos:
Sabemos que .

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 7

Agora, calculamos as normas dos vetores:

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
Simplificando a equação:
Multiplicamos ambos os lados por :
Simplificando mais:

Passo 9

Dividindo ambos os lados por 5 para simplificar:

Passo 10

Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Calculando:

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar as frações:
Rearranjando os termos:

Passo 12

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:

Resposta

Os valores de que tornam o ângulo entre os planos igual a são:

Exercícios relacionados

Calcule o determinante das matrizes abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Efetuar
Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.
a)
b)
c)
Numa equação química balanceada o número de cada átomo nos reagentes deve ser igual nos produtos. Por exemplo, . Um dos métodos para encontrar uma reação balanceada é por tentativa e erro. Usando os métodos de resolução de sistemas lineares podemos resolver essa questão facilmente. Assim em cada caso a seguir, encontre a equação química balanceada (mínima).
(a) .
(b)
© .
Observação. amônia, oxigênio, nitrogênio, água, dióxido de carbono , glicose e gás butano.