Determinar o valor de m para que seja de 60^circ o ângulo entre os planos pi1: x+m y+2 z-7=0 e pi2: 4 x+5 y+3 z+2=0

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar o valor de para que o ângulo entre os planos e seja de . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula que relaciona o ângulo entre dois planos com os vetores normais desses planos.

Passo 2

Para calcular o ângulo entre dois planos, precisamos primeiro identificar os vetores normais de cada plano. Um vetor normal de um plano é um vetor perpendicular a ele e pode ser obtido a partir dos coeficientes de , e na equação do plano.

Passo 3

Vamos identificar os vetores normais dos planos fornecidos:
  • Para o plano , o vetor normal é .
  • Para o plano , o vetor normal é .

Passo 4

A fórmula para calcular o cosseno do ângulo cos theta = a cdot b|a| , |b| entre dois vetores e é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (ou magnitudes) dos vetores.

Passo 5

Aplicando essa fórmula aos vetores normais cos 60^circ = n1 cdot n2|n1| , |n2| e , temos:
Sabemos que .

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2 = (1)(4) + (m)(5) + (2)(3) = 4 + 5m + 6 = 5m + 10 :

Passo 7

Agora, calculamos as normas dos vetores:
|n1| = raiz1^2 + m^2 + 2^2 = raiz1 + m^2 + 4 = raizm^2 + 5
|n2| = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50 = 5raiz2

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
12 = 5m + 10raizm^2 + 5 cdot 5raiz2
Simplificando a equação:
Multiplicamos ambos os lados por 12 cdot raizm^2 + 5 cdot 5raiz2 = 5m + 10 :
5raiz22 cdot raizm^2 + 5 = 5m + 10
Simplificando mais:

Passo 9

Dividindo ambos os lados por 5 para simplificar:
raiz22 cdot raizm^2 + 5 = m + 2

Passo 10

Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
( raiz22 )^2 (m^2 + 5) = (m + 2)^2
Calculando:
24 (m^2 + 5) = m^2 + 4m + 4
12 (m^2 + 5) = m^2 + 4m + 4
m^22 + 52 = m^2 + 4m + 4

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar as frações:
m^2 + 5 = 2m^2 + 8m + 8
Rearranjando os termos:
0 = m^2 + 8m + 3

Passo 12

Resolvendo a equação quadrática m = -8 pm raiz8^2 - 4 cdot 1 cdot 32 cdot 1 = -8 pm raiz64 - 122 = -8 pm raiz522 = -8 pm 2raiz132 usando a fórmula de Bhaskara:
m = -4 pm raiz13
Simplificando:

Resposta

Os valores de m = -4 + raiz13 e m = -4 - raiz13 que tornam o ângulo entre os planos igual a são:

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