Determinar o valor de
para que seja de
o ângulo entre os planos
Passo 1
Neste exercício, queremos encontrar o valor de
para que o ângulo entre os planos
e
seja de
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula que relaciona o ângulo entre dois planos com os vetores normais desses planos.
Passo 2
Para calcular o ângulo entre dois planos, precisamos primeiro identificar os vetores normais de cada plano. Um vetor normal de um plano é um vetor perpendicular a ele e pode ser obtido a partir dos coeficientes de
,
e
na equação do plano.
Passo 3
Vamos identificar os vetores normais dos planos fornecidos:
- Para o plano
, o vetor normal é . - Para o plano
, o vetor normal é .
Passo 4
A fórmula para calcular o cosseno do ângulo
entre dois vetores
e
é:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as normas (ou magnitudes) dos vetores.
Passo 5
Aplicando essa fórmula aos vetores normais
e
, temos:
Sabemos que
.
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
Agora, calculamos as normas dos vetores:
Passo 8
Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
Simplificando a equação:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Simplificando mais:
Passo 9
Dividindo ambos os lados por 5 para simplificar:
Passo 10
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Calculando:
Passo 11
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar as frações:
Rearranjando os termos:
Passo 12
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Resposta
Os valores de
que tornam o ângulo entre os planos igual a
são: