Calcule o determinante das matrizes a seguir: [cccos beta t & sen beta t alpha cos beta t-beta sen beta t & alpha sen beta t+beta cos beta t]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante de uma matriz 2x2 específica. Estamos lidando com álgebra linear, mais precisamente com propriedades de determinantes. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2 e aplicar isso à matriz que foi dada usando trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do determinante para uma matriz 2x2. Se temos uma matriz:
a & b c & d
O determinante é calculado como:
determinante = ad - bc

Passo 3

Agora, vamos identificar os elementos da nossa matriz:
cos beta t & sin beta t alpha cos beta t - beta sin beta t & alpha sin beta t + beta cos beta t
Aqui, temos:

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula do determinante usando esses valores:
determinante = (cos beta t)(alpha sin beta t + beta cos beta t) - (sin beta t)(alpha cos beta t - beta sin beta t)

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos:
determinante &= alpha cos beta t sin beta t + beta cos^2 beta t & - alpha sin beta t cos beta t + beta sin^2 beta t

Passo 6

Observamos que os termos determinante = beta cos^2 beta t + beta sin^2 beta t e se cancelam:

Passo 7

Fatorando determinante = beta (cos^2 beta t + sin^2 beta t) :
determinante = beta times 1 = beta
Sabemos que , então:

Resposta

O determinante da matriz dada é .

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