Sejam A=[rrr1 & 0 & 5 1 & 1 & 1 0 & 1 & -4] e X=[lx y z]. Encontre a solução geral do sistema A X=2 X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral do sistema A X = 2 X, onde A é uma matriz específica e X é um vetor com componentes x, y e z. Isso envolve conceitos de álgebra linear, principalmente sobre sistemas lineares e autovalores. Vamos precisar manipular matrizes e resolver equações para achar todos os vetores X que satisfazem essa relação.

Passo 2

Primeiro, a gente vai reorganizar a equação A X = 2 X para deixar tudo em um lado. Isso facilita na hora de resolver o sistema. Então, subtraímos 2 X de ambos os lados, ficando assim:
A X - 2 X = 0

Passo 3

Agora, vamos fatorar o X para deixar a expressão mais limpa. Isso resulta em:
(A - 2I) X = 0
Aqui, I é a matriz identidade, que na dimensão 3x3 é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Vamos calcular A - 2I. Subtraímos 2 nas posições da diagonal principal da matriz A:
A - 2I = 1-2 & 0 & 5 1 & 1-2 & 1 0 & 1 & -4-2 = -1 & 0 & 5 1 & -1 & 1 0 & 1 & -6

Passo 5

Agora, temos o sistema linear (A - 2I) X = 0, que fica:
-1x + 0y + 5z = 0 1x - 1y + 1z = 0 0x + 1y - 6z = 0
Vamos resolver esse sistema. Da terceira equação, podemos expressar y em termos de z:
y = 6z
Substituindo y = 6z na segunda equação:
x - 6z + z = 0 Rightarrow x - 5z = 0 Rightarrow x = 5z
E pela primeira equação:
-5z + 5z = 0 Rightarrow 0 = 0
Isso confirma que nossas expressões para x e y estão corretas.

Passo 6

Como vimos, x = 5z e y = 6z. O valor de z pode ser qualquer número real, então vamos chamar z de t, onde t in R.
Então, a solução geral do sistema é:
X = 5t 6t t = t 5 6 1 , t in R

Resposta

A solução geral do sistema A X = 2 X é qualquer vetor da forma
X = t 5 6 1 , t in R

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