Sejam e X=[lx y z]. Encontre a solução geral do sistema A X=2 X.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral do sistema A X = 2 X, onde A é uma matriz específica e X é um vetor com componentes x, y e z. Isso envolve conceitos de álgebra linear, principalmente sobre sistemas lineares e autovalores. Vamos precisar manipular matrizes e resolver equações para achar todos os vetores X que satisfazem essa relação.
Passo 2
Primeiro, a gente vai reorganizar a equação A X = 2 X para deixar tudo em um lado. Isso facilita na hora de resolver o sistema. Então, subtraímos 2 X de ambos os lados, ficando assim:
A X - 2 X = 0
Passo 3
Agora, vamos fatorar o X para deixar a expressão mais limpa. Isso resulta em:
(A - 2I) X = 0
Aqui, I é a matriz identidade, que na dimensão 3x3 é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Passo 4
Vamos calcular A - 2I. Subtraímos 2 nas posições da diagonal principal da matriz A: