Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(e) O conjunto formado pelos polinômio em k[x]𝕜 de grau n.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a dimensão de um espaço vetorial específico: o conjunto formado pelos polinômios em k[x]𝕜 de grau n. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especialmente sobre espaços vetoriais e suas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, o que define sua dimensão e como identificar uma base para esse espaço.

Passo 2

Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, polinômios) que podem ser somados e multiplicados por escalares, obedecendo a certas regras. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o espaço.

Passo 3

No contexto dos polinômios, consideramos o espaço k[x]𝕜, que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes na área k𝕜. Quando falamos de polinômios de grau n, estamos nos referindo aos polinômios que têm no máximo grau n. Isso porque, em geral, o conjunto de polinômios de grau exato n não forma um espaço vetorial, já que a soma de dois polinômios de grau n pode resultar em um polinômio de grau menor.

Passo 4

Vamos considerar o espaço dos polinômios de grau até n, ou seja, aqueles polinômios cujo grau é menor ou igual a n. Esse espaço é denotado por kn[x]𝕜. Uma base típica para esse espaço é formada pelos monômios 1, x, x^2, dots, x^n. Cada polinômio nesse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses monômios.

Passo 5

Para encontrar a dimensão desse espaço, contamos quantos vetores tem a base que encontramos. Aqui, temos os monômios 1 (grau 0), x (grau 1), até x^n (grau n). No total, são n+1 vetores na base.

Resposta

A dimensão do espaço vetorial formado pelos polinômios em k[x]𝕜 de grau n é n + 1.

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