Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(e) O conjunto formado pelos polinômio em
de grau
.
(e) O conjunto formado pelos polinômio em
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a dimensão de um espaço vetorial específico: o conjunto formado pelos polinômios em
de grau
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especialmente sobre espaços vetoriais e suas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, o que define sua dimensão e como identificar uma base para esse espaço.
Passo 2
Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, polinômios) que podem ser somados e multiplicados por escalares, obedecendo a certas regras. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o espaço.
Passo 3
No contexto dos polinômios, consideramos o espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes na área
. Quando falamos de polinômios de grau
, estamos nos referindo aos polinômios que têm no máximo grau
. Isso porque, em geral, o conjunto de polinômios de grau exato
não forma um espaço vetorial, já que a soma de dois polinômios de grau
pode resultar em um polinômio de grau menor.
Passo 4
Vamos considerar o espaço dos polinômios de grau até
, ou seja, aqueles polinômios cujo grau é menor ou igual a
. Esse espaço é denotado por
. Uma base típica para esse espaço é formada pelos monômios
. Cada polinômio nesse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses monômios.
Passo 5
Para encontrar a dimensão desse espaço, contamos quantos vetores tem a base que encontramos. Aqui, temos os monômios
(grau 0),
(grau 1), até
(grau
). No total, são
vetores na base.
Resposta
A dimensão do espaço vetorial formado pelos polinômios em
de grau
é
.
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Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(i) ;
(i)
Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(a) matrizes de ordem
como
-espaço vetorial.
(a)
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(k) ;
(k)
Mostre que os poliômios
e
são L.I.