Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que os polinômios , e são linearmente independentes (LI). Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre independência linear de vetores. Para resolver, precisamos verificar se a única combinação linear que dá zero é quando todos os coeficientes são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Três vetores (ou polinômios, no caso) são LI se a única solução para a equação for . Ou seja, não tem como combinar esses polinômios de outra forma para dar o polinômio zero.
Passo 3
Vamos montar a equação com os polinômios:
Precisamos que essa combinação resulte no polinômio zero, que é .
Passo 4
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Simplificando:
Passo 5
Para que esse polinômio seja igual a zero, os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a + 3b = 0 Rightarrow a = -3b , e . Começamos pela primeira equação:
Passo 7
Substituímos 3(-3b) + b + 2c = 0 Rightarrow -9b + b + 2c = 0 Rightarrow -8b + 2c = 0 Rightarrow 2c = 8b Rightarrow c = 4b na segunda equação:
Essa última equação é sempre verdadeira e não nos dá nova informação, mas as outras duas nos mostram que e .
Passo 9
Isso significa que existem infinitas soluções para , e , ou seja, podemos escolher qualquer valor para e encontrar e correspondentes. Por exemplo, se , então e .
Passo 10
Como existem soluções não triviais (onde pelo menos um dos coeficientes não é zero) para a combinação linear que resulta no polinômio zero, isso indica que os polinômios , e são linearmente dependentes.