Mostre que os poliômios p(x)=1+3 x+2 x^2, q(x)=3+x+2 x^2 e r(x)=2 x+x^2 são L.I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que os polinômios , e são linearmente independentes (LI). Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre independência linear de vetores. Para resolver, precisamos verificar se a única combinação linear que dá zero é quando todos os coeficientes são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Três vetores (ou polinômios, no caso) são LI se a única solução para a equação for . Ou seja, não tem como combinar esses polinômios de outra forma para dar o polinômio zero.

Passo 3

Vamos montar a equação com os polinômios:
a(1 + 3x + 2x^2) + b(3 + x + 2x^2) + c(2x + x^2) = 0
Precisamos que essa combinação resulte no polinômio zero, que é .

Passo 4

Agora, vamos distribuir os coeficientes:
a cdot 1 + a cdot 3x + a cdot 2x^2 + b cdot 3 + b cdot x + b cdot 2x^2 + c cdot 2x + c cdot x^2 = 0
Simplificando:
(a + 3b) + (3a + b + 2c)x + (2a + 2b + c)x^2 = 0

Passo 5

Para que esse polinômio seja igual a zero, os coeficientes de cada potência de a + 3b = 0 3a + b + 2c = 0 2a + 2b + c = 0 devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a + 3b = 0 Rightarrow a = -3b , e . Começamos pela primeira equação:

Passo 7

Substituímos 3(-3b) + b + 2c = 0 Rightarrow -9b + b + 2c = 0 Rightarrow -8b + 2c = 0 Rightarrow 2c = 8b Rightarrow c = 4b na segunda equação:

Passo 8

Agora, substituímos 2(-3b) + 2b + 4b = 0 Rightarrow -6b + 2b + 4b = 0 Rightarrow 0 = 0 e na terceira equação:
Essa última equação é sempre verdadeira e não nos dá nova informação, mas as outras duas nos mostram que e .

Passo 9

Isso significa que existem infinitas soluções para , e , ou seja, podemos escolher qualquer valor para e encontrar e correspondentes. Por exemplo, se , então e .

Passo 10

Como existem soluções não triviais (onde pelo menos um dos coeficientes não é zero) para a combinação linear que resulta no polinômio zero, isso indica que os polinômios , e são linearmente dependentes.

Resposta

Os polinômios , e são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(k) 17 a+13 b24;
Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(e) O conjunto formado pelos polinômio em k[x]𝕜 de grau n.
Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(b) M3 times 4(C) matrizes de ordem 3 times 4 como C-espaço vetorial.
Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(g) U=(x, y) in R^2: y=x+1 subset R^2.