Calcule em que distância a interação coulombiana entre dois íons de de carga unitária é igual a
:
(i) na água,
;
(ii) no hexano,
.
Em ambos os casos, assuma que a temperatura é igual 278 K . Comente sobre a probabilidade de uma reação entre os íons de mesmo sinal em ambos os solventes.
(i) na água,
(ii) no hexano,
Em ambos os casos, assuma que a temperatura é igual 278 K . Comente sobre a probabilidade de uma reação entre os íons de mesmo sinal em ambos os solventes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a distância em que a interação coulombiana entre dois íons de carga unitária é igual a $ k_{B} T $ em dois solventes diferentes: água e hexano. Para isso, a gente vai usar conceitos de Física que envolvem a energia das interações elétricas e a teoria térmica. Precisamos saber sobre a constante dielétrica dos solventes, a temperatura dada e como relacionar tudo isso usando a fórmula da interação coulombiana. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a interação coulombiana. Ela descreve a força entre duas cargas elétricas. A energia dessa interação é dada pela fórmula:
Aqui, $ U $ é a energia, $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, $ \kappa $ é a constante dielétrica do meio, $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas dos íons, e $ r $ é a distância entre eles.
Passo 3
No nosso caso, os íons têm carga unitária, então $ q_1 = q_2 = e $, onde $ e $ é a carga elementar. Queremos encontrar a distância $ r $ onde a energia da interação $ U $ é igual a $ k_{B} T $ (energia térmica). Assim, igualamos as duas expressões:
Passo 4
Agora, vamos isolar $ r $ nessa equação para encontrarmos a distância desejada:
Passo 5
Vamos substituir os valores conhecidos na equação. Primeiro, precisamos dos valores das constantes:
- $ \epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , C^2/N \cdot m^2 $
- $ e = 1,602 \times 10^{-19} , C $
- $ k_{B} = 1,38 \times 10^{-23} , J/K $
- $ T = 278 , K $
Passo 6
Vamos calcular $ r $ para a água primeiro, onde $ \kappa = 78 $:
Passo 7
Calculando passo a passo:
- Calcula o denominador $ 4\pi \epsilon_0 \kappa $:
- Calcula $ e^2 $:
- Calcula $ k_{B} T $:
- Agora, substitui na fórmula:
Passo 8
Agora, vamos fazer o mesmo para o hexano, onde $ \kappa = 1,89 $:
Passo 9
Calculando passo a passo:
- Calcula o denominador $ 4\pi \epsilon_0 \kappa $:
- Calcula $ e^2 $:
- Calcula $ k_{B} T $:
- Agora, substitui na fórmula:
Resposta
A distância em que a interação coulombiana é igual a $ k_{B} T $ é aproximadamente 0,77 nm na água e 31,7 nm no hexano. Isso significa que, na água, os íons se afastam mais rapidamente devido à alta constante dielétrica, tornando improvável que íons de mesmo sinal reajam. Já no hexano, com uma constante dielétrica baixa, os íons permanecem próximos por uma distância maior, aumentando a probabilidade de reações entre íons de mesmo sinal nesses solventes.