Calcule em que distância a interação coulombiana entre dois íons de de carga unitária é igual a kB T:
(i) na água, kappa=78;
(ii) no hexano, kappa=1,89.
Em ambos os casos, assuma que a temperatura é igual 278 K . Comente sobre a probabilidade de uma reação entre os íons de mesmo sinal em ambos os solventes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a distância em que a interação coulombiana entre dois íons de carga unitária é igual a $ k_{B} T $ em dois solventes diferentes: água e hexano. Para isso, a gente vai usar conceitos de Física que envolvem a energia das interações elétricas e a teoria térmica. Precisamos saber sobre a constante dielétrica dos solventes, a temperatura dada e como relacionar tudo isso usando a fórmula da interação coulombiana. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a interação coulombiana. Ela descreve a força entre duas cargas elétricas. A energia dessa interação é dada pela fórmula:
U = 14pi epsilon0 kappa q1 q2r
Aqui, $ U $ é a energia, $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, $ \kappa $ é a constante dielétrica do meio, $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas dos íons, e $ r $ é a distância entre eles.

Passo 3

No nosso caso, os íons têm carga unitária, então $ q_1 = q_2 = e $, onde $ e $ é a carga elementar. Queremos encontrar a distância $ r $ onde a energia da interação $ U $ é igual a $ k_{B} T $ (energia térmica). Assim, igualamos as duas expressões:
q1 = q2 = e

Passo 4

Agora, vamos isolar $ r $ nessa equação para encontrarmos a distância desejada:
r

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos na equação. Primeiro, precisamos dos valores das constantes:
  • $ \epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , C^2/N \cdot m^2 $
  • $ e = 1,602 \times 10^{-19} , C $
  • $ k_{B} = 1,38 \times 10^{-23} , J/K $
  • $ T = 278 , K $

Passo 6

Vamos calcular $ r $ para a água primeiro, onde $ \kappa = 78 $:
r á

Passo 7

Calculando passo a passo:
  1. Calcula o denominador $ 4\pi \epsilon_0 \kappa $:
4pi epsilon0 kappa
  1. Calcula $ e^2 $:
4pi times 8,85 times 10^-12 times 78 approx 8,69 times 10^-9 , C^2/N cdot m^2
  1. Calcula $ k_{B} T $:
e^2
  1. Agora, substitui na fórmula:
(1,602 times 10^-19)^2 approx 2,566 times 10^-38 , C^2 á
kB T á

Passo 8

Agora, vamos fazer o mesmo para o hexano, onde $ \kappa = 1,89 $:
kappa = 1,89

Passo 9

Calculando passo a passo:
  1. Calcula o denominador $ 4\pi \epsilon_0 \kappa $:
4pi epsilon0 kappa
  1. Calcula $ e^2 $:
4pi times 8,85 times 10^-12 times 1,89 approx 2,11 times 10^-10 , C^2/N cdot m^2
  1. Calcula $ k_{B} T $:
e^2
  1. Agora, substitui na fórmula:
(1,602 times 10^-19)^2 approx 2,566 times 10^-38 , C^2
kB T

Resposta

A distância em que a interação coulombiana é igual a $ k_{B} T $ é aproximadamente 0,77 nm na água e 31,7 nm no hexano. Isso significa que, na água, os íons se afastam mais rapidamente devido à alta constante dielétrica, tornando improvável que íons de mesmo sinal reajam. Já no hexano, com uma constante dielétrica baixa, os íons permanecem próximos por uma distância maior, aumentando a probabilidade de reações entre íons de mesmo sinal nesses solventes.

Exercícios relacionados