Calcule a distribuição superficial de cargas induzidas na superfície condutora ( sigma ). Quanto vale integralS sigma d A, onde S é o plano O x y ? (essa pergunta pode ser respondida sem nenhum cálculo, apenas utilizando apropriadamente a lei de Gauss).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distribuição superficial de cargas induzidas na superfície de um condutor, representada por sigma. Além disso, queremos saber o valor da integral integralS sigma , dA, onde S é o plano Oxy. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é da matéria de Eletrostática e nos ajuda a relacionar campos elétricos com cargas.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que a Lei de Gauss nos diz. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( varepsilon0). A fórmula é:
ointS E cdot dA = Qdentrovarepsilon0

Passo 3

No nosso caso, estamos lidando com uma superfície condutora plana S no plano Oxy. Quando cargas são induzidas em um condutor, elas se distribuem na superfície para que o campo elétrico dentro do condutor seja zero.

Passo 4

Como o campo elétrico dentro do condutor é nulo, podemos usar a Lei de Gauss imaginando uma superfície gaussiana que fica logo acima da superfície condutora. Nessa superfície, o campo elétrico é perpendicular à superfície e constante.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, temos que o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana é:
Phi = E cdot A
Mas pelo Gauss, isso também é igual a:
Phi = Qvarepsilon0
Onde Q é a carga total dentro da superfície gaussiana.

Passo 6

Igualando as duas expressões para o fluxo elétrico:
E cdot A = Qvarepsilon0
Como estamos considerando uma superfície infinita, a densidade de carga sigma é a carga por unidade de área, então Q = sigma cdot A.

Passo 7

Substituindo Q na equação:
E cdot A = sigma cdot Avarepsilon0
Podemos simplificar A dos dois lados:
E = sigmavarepsilon0

Passo 8

Queremos encontrar a integral integralS sigma , dA. Isso basicamente representa a carga total Q na superfície S.

Passo 9

Da relação que encontramos, sabemos que Q = sigma cdot A. No entanto, se considerarmos uma superfície infinita, a carga total pode tender ao infinito, mas geralmente assumimos simetria e consideramos a densidade de carga.

Passo 10

Portanto, sem precisar de cálculos específicos, usando a Lei de Gauss, concluímos que a integral da densidade de carga sigma sobre a superfície S está relacionada à carga total induzida.

Resposta

A integral integralS sigma , dA representa a carga total induzida na superfície condutora S, e utilizando a Lei de Gauss, concluímos que essa carga total é igual a zero em equilíbrio eletrostático.

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