Calcule a distribuição superficial de cargas induzidas na superfície condutora (
). Quanto vale
, onde
é o plano
? (essa pergunta pode ser respondida sem nenhum cálculo, apenas utilizando apropriadamente a lei de Gauss).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distribuição superficial de cargas induzidas na superfície de um condutor, representada por
. Além disso, queremos saber o valor da integral
, onde
é o plano
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é da matéria de Eletrostática e nos ajuda a relacionar campos elétricos com cargas.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que a Lei de Gauss nos diz. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
). A fórmula é:
Passo 3
No nosso caso, estamos lidando com uma superfície condutora plana
no plano
. Quando cargas são induzidas em um condutor, elas se distribuem na superfície para que o campo elétrico dentro do condutor seja zero.
Passo 4
Como o campo elétrico dentro do condutor é nulo, podemos usar a Lei de Gauss imaginando uma superfície gaussiana que fica logo acima da superfície condutora. Nessa superfície, o campo elétrico é perpendicular à superfície e constante.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss, temos que o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana é:
Mas pelo Gauss, isso também é igual a:
Onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Passo 6
Igualando as duas expressões para o fluxo elétrico:
Como estamos considerando uma superfície infinita, a densidade de carga
é a carga por unidade de área, então
.
Passo 7
Substituindo
na equação:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 8
Queremos encontrar a integral
. Isso basicamente representa a carga total
na superfície
.
Passo 9
Da relação que encontramos, sabemos que
. No entanto, se considerarmos uma superfície infinita, a carga total pode tender ao infinito, mas geralmente assumimos simetria e consideramos a densidade de carga.
Passo 10
Portanto, sem precisar de cálculos específicos, usando a Lei de Gauss, concluímos que a integral da densidade de carga
sobre a superfície
está relacionada à carga total induzida.
Resposta
A integral
representa a carga total induzida na superfície condutora
, e utilizando a Lei de Gauss, concluímos que essa carga total é igual a zero em equilíbrio eletrostático.
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se trocarmos a carga
por outra
, ele aumentará, diminuirá ou permanecerá o mesmo? Justifique a sua resposta.
Explique como você obteria a densidade superficial de cargas induzidas
na superfície da esfera. Quanto vale
? Justifique a sua resposta.
Explique em poucas palavras porque existe um valor crítico para o ângulo
, denotado por
, acima do qual as linhas de campo que saem da carga
não atingem a esfera.
A partir desse item, considere apenas a situação (
), ou seja, aquela na qual o dipolo está orientado perpendicularmente ao plano condutor. Por conveniência, escolha os eixos cartesianos de forma que o plano condutor esteja em
e o dipolo esteja localizado no eixo
, na posição
. Nesse caso, calcular o potencial eletrostático na região
, exceto na posição do dipolo.