Calcule a distribuição superficial de cargas induzidas na superfície condutora ( ). Quanto vale , onde é o plano ? (essa pergunta pode ser respondida sem nenhum cálculo, apenas utilizando apropriadamente a lei de Gauss).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distribuição superficial de cargas induzidas na superfície de um condutor, representada por . Além disso, queremos saber o valor da integral , onde é o plano . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é da matéria de Eletrostática e nos ajuda a relacionar campos elétricos com cargas.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que a Lei de Gauss nos diz. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( ). A fórmula é:

Passo 3

No nosso caso, estamos lidando com uma superfície condutora plana no plano . Quando cargas são induzidas em um condutor, elas se distribuem na superfície para que o campo elétrico dentro do condutor seja zero.

Passo 4

Como o campo elétrico dentro do condutor é nulo, podemos usar a Lei de Gauss imaginando uma superfície gaussiana que fica logo acima da superfície condutora. Nessa superfície, o campo elétrico é perpendicular à superfície e constante.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, temos que o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana é:
Mas pelo Gauss, isso também é igual a:
Onde é a carga total dentro da superfície gaussiana.

Passo 6

Igualando as duas expressões para o fluxo elétrico:
Como estamos considerando uma superfície infinita, a densidade de carga é a carga por unidade de área, então .

Passo 7

Substituindo na equação:
Podemos simplificar dos dois lados:

Passo 8

Queremos encontrar a integral . Isso basicamente representa a carga total na superfície .

Passo 9

Da relação que encontramos, sabemos que . No entanto, se considerarmos uma superfície infinita, a carga total pode tender ao infinito, mas geralmente assumimos simetria e consideramos a densidade de carga.

Passo 10

Portanto, sem precisar de cálculos específicos, usando a Lei de Gauss, concluímos que a integral da densidade de carga sobre a superfície está relacionada à carga total induzida.

Resposta

A integral representa a carga total induzida na superfície condutora , e utilizando a Lei de Gauss, concluímos que essa carga total é igual a zero em equilíbrio eletrostático.

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