A partir desse item, considere apenas a situação ( i ), ou seja, aquela na qual o dipolo está orientado perpendicularmente ao plano condutor. Por conveniência, escolha os eixos cartesianos de forma que o plano condutor esteja em z=0 e o dipolo esteja localizado no eixo O z, na posição (0,0, h). Nesse caso, calcular o potencial eletrostático na região z>0, exceto na posição do dipolo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular o potencial eletrostático na região devido a um dipolo orientado perpendicularmente a um plano condutor que está no . A matéria que vamos usar aqui é a Eletrostática, especificamente o Método das Imagens. Pra resolver isso, vamos precisar entender como os dipolos interagem com superfícies condutoras e como aplicar o método das imagens para simplificar o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a situação. Temos um plano condutor no plano e um dipolo localizado no ponto ao longo do eixo . O dipolo está orientado perpendicularmente ao plano, ou seja, alinhado com o eixo .

Passo 3

Para resolver o potencial nessa configuração, usamos o Método das Imagens. Esse método nos permite substituir o efeito do plano condutor por uma imagem fictícia da fonte original. No caso de um dipolo, colocamos um dipolo de imagem localizado em , mas invertido em sua orientação para garantir que o potencial no plano condutor seja zero, conforme a condição de contorno.

Passo 4

Vamos definir o dipolo real como tendo momento dipolar phi(r) = 14pi epsilon0 ( p cdot (r - r0)|r - r0|^3 + p' cdot (r - r'0)|r - r'0|^3 ) localizado em e o dipolo de imagem como localizado em . A fórmula para o potencial eletrostático de um dipolo em um ponto no espaço é:
Onde:
  • é a posição do dipolo real.
  • é a posição do dipolo de imagem.
  • é o momento dipolar do dipolo de imagem.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Como o dipolo está alinhado com o eixo phi(r) = p4pi epsilon0 ( z - h[(x)^2 + (y)^2 + (z - h)^2]^3/2 - z + h[(x)^2 + (y)^2 + (z + h)^2]^3/2 ) , temos . Substituindo na fórmula:

Passo 6

Essa expressão representa o potencial eletrostático na região devido ao dipolo real e ao dipolo de imagem. A primeira parte é o potencial do dipolo real e a segunda parte é o potencial do dipolo de imagem invertido.

Resposta

O potencial eletrostático na região phi(x, y, z) = p4pi epsilon0 ( z - h(x^2 + y^2 + (z - h)^2)^3/2 - z + h(x^2 + y^2 + (z + h)^2)^3/2 ) é dado por:

Exercícios relacionados