Explique como você obteria a densidade superficial de cargas induzidas sigmai na superfície da esfera. Quanto vale ointS sigmai d A ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um exercício pra descobrir como encontrar a densidade superficial de cargas induzidas, que a gente chama de sigmai, na superfície de uma esfera. Além disso, queremos saber quanto vale a integral ointS sigmai dA. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de eletrostática, especialmente sobre como as cargas se distribuem em condutores e usar a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um condutor está em equilíbrio eletrostático, as cargas livres se distribuem na superfície dele. A densidade de carga superficial sigmai representa a quantidade de carga por unidade de área na superfície da esfera.

Passo 3

Agora, para encontrar sigmai, podemos usar a Lei de Gauss. Essa lei diz que a integral do campo elétrico E sobre uma superfície fechada S é igual à carga total Qtotal dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo varepsilon0:
ointS E cdot dA = Qtotalvarepsilon0
No caso da esfera, se considerarmos que não há carga líquida dentro dela (ou seja, a esfera está neutra e apenas tem cargas induzidas na superfície), então a carga total dentro é zero.

Passo 4

Isso significa que:
ointS E cdot dA = 0varepsilon0 = 0
Mas sabemos que o campo elétrico justo na superfície de um condutor é relacionado à densidade de carga superficial por:
E = sigmaivarepsilon0 n
onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 5

Substituindo isso na Lei de Gauss, temos:
ointS sigmaivarepsilon0 n cdot dA = 0
Como n cdot dA = dA, a equação fica:
1varepsilon0 ointS sigmai dA = 0

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por varepsilon0, obtemos:
ointS sigmai dA = 0
Isso significa que a soma total das cargas induzidas na superfície da esfera é zero.

Resposta

A integral da densidade superficial de cargas induzidas na superfície da esfera, ointS sigmai dA, é igual a zero.

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