Explique como você obteria a densidade superficial de cargas induzidas
na superfície da esfera. Quanto vale
? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um exercício pra descobrir como encontrar a densidade superficial de cargas induzidas, que a gente chama de
, na superfície de uma esfera. Além disso, queremos saber quanto vale a integral
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de eletrostática, especialmente sobre como as cargas se distribuem em condutores e usar a Lei de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando um condutor está em equilíbrio eletrostático, as cargas livres se distribuem na superfície dele. A densidade de carga superficial
representa a quantidade de carga por unidade de área na superfície da esfera.
Passo 3
Agora, para encontrar
, podemos usar a Lei de Gauss. Essa lei diz que a integral do campo elétrico
sobre uma superfície fechada
é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
No caso da esfera, se considerarmos que não há carga líquida dentro dela (ou seja, a esfera está neutra e apenas tem cargas induzidas na superfície), então a carga total dentro é zero.
Passo 4
Isso significa que:
Mas sabemos que o campo elétrico justo na superfície de um condutor é relacionado à densidade de carga superficial por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 5
Substituindo isso na Lei de Gauss, temos:
Como
, a equação fica:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Isso significa que a soma total das cargas induzidas na superfície da esfera é zero.
Resposta
A integral da densidade superficial de cargas induzidas na superfície da esfera,
, é igual a zero.
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descreva com palavras como você faria para calcular a distribuição superficial de carga em cada superfície cndutor.
Obtenha a densidade superficial de cargas induzidas no plano condutor. Calcule a carga total no plano condutor por integração direta e interprete o resultado à luz da lei de Gauss.
O que acontece com o ângulo
se trocarmos a carga
por outra
, ele aumentará, diminuirá ou permanecerá o mesmo? Justifique a sua resposta.
Calcule a distribuição superficial de cargas induzidas na superfície condutora (
). Quanto vale
, onde
é o plano
? (essa pergunta pode ser respondida sem nenhum cálculo, apenas utilizando apropriadamente a lei de Gauss).