Explique como você obteria a densidade superficial de cargas induzidas na superfície da esfera. Quanto vale ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um exercício pra descobrir como encontrar a densidade superficial de cargas induzidas, que a gente chama de , na superfície de uma esfera. Além disso, queremos saber quanto vale a integral . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de eletrostática, especialmente sobre como as cargas se distribuem em condutores e usar a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um condutor está em equilíbrio eletrostático, as cargas livres se distribuem na superfície dele. A densidade de carga superficial representa a quantidade de carga por unidade de área na superfície da esfera.

Passo 3

Agora, para encontrar , podemos usar a Lei de Gauss. Essa lei diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo :
No caso da esfera, se considerarmos que não há carga líquida dentro dela (ou seja, a esfera está neutra e apenas tem cargas induzidas na superfície), então a carga total dentro é zero.

Passo 4

Isso significa que:
Mas sabemos que o campo elétrico justo na superfície de um condutor é relacionado à densidade de carga superficial por:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 5

Substituindo isso na Lei de Gauss, temos:
Como , a equação fica:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Isso significa que a soma total das cargas induzidas na superfície da esfera é zero.

Resposta

A integral da densidade superficial de cargas induzidas na superfície da esfera, , é igual a zero.

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