Calcule o divergente e o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais. Se o rotacional for nulo, tente descobrir a função escalar para o qual o campo vetorial é o gradiente. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcularmos o divergente e o rotacional do campo vetorial , onde:
Vamos precisar usar os conceitos de divergente e rotacional de um campo vetorial, que fazem parte do cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Vamos aplicar isso ao nosso campo :

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
  1. (pois 2 é constante)
Então, somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional do campo . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos aplicar isso ao nosso campo :

Passo 5

Calculando cada componente do rotacional:
  1. (pois 2xz não depende de y)
Então, a primeira componente:
Então, a segunda componente:
Então, a terceira componente:
Portanto, o rotacional é:

Passo 6

Agora, verificamos se o rotacional é nulo. No nosso caso:
Isso significa que o rotacional não é nulo, a menos que . Portanto, não precisamos encontrar uma função escalar tal que .

Resposta

O divergente do campo é e o rotacional é . Como o rotacional não é nulo, não existe uma função escalar para a qual .

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