Calcule o divergente e o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais. Se o rotacional for nulo, tente descobrir a função escalar phi para o qual o campo vetorial é o gradiente. Hx=x^2-z^2 ; Hy=2 ; Hz=2 x z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcularmos o divergente e o rotacional do campo vetorial Hx = x^2 - z^2, Hy = 2, Hz = 2xz , onde:
Vamos precisar usar os conceitos de divergente e rotacional de um campo vetorial, que fazem parte do cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . O divergente de um campo vetorial nabla cdot H = partial Hxpartial x + partial Hypartial y + partial Hzpartial z é dado por:
Vamos aplicar isso ao nosso campo :

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
  1. nabla cdot H = 2x + 0 + 2x = 4x
  2. (pois 2 é constante)
Então, somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional do campo nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) . O rotacional de um campo vetorial nabla times H = ( partial Hzpartial y - partial Hypartial z, partial Hxpartial z - partial Hzpartial x, partial Hypartial x - partial Hxpartial y ) é dado por:
Vamos aplicar isso ao nosso campo :

Passo 5

Calculando cada componente do rotacional:
  1. 0 - 0 = 0 (pois 2xz não depende de y)
  2. -2z - 2z = -4z
Então, a primeira componente:
0 - 0 = 0
  1. nabla times H = (0, -4z, 0)
Então, a segunda componente:
Então, a terceira componente:
Portanto, o rotacional é:

Passo 6

Agora, verificamos se o rotacional é nulo. No nosso caso:
nabla times H = (0, -4z, 0)
Isso significa que o rotacional não é nulo, a menos que . Portanto, não precisamos encontrar uma função escalar tal que .

Resposta

O divergente do campo é e o rotacional é . Como o rotacional não é nulo, não existe uma função escalar para a qual .

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