Calcule o divergente e o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais. Se o rotacional for nulo, tente descobrir a função escalar
para o qual o campo vetorial é o gradiente.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcularmos o divergente e o rotacional do campo vetorial
, onde:
Vamos precisar usar os conceitos de divergente e rotacional de um campo vetorial, que fazem parte do cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Vamos aplicar isso ao nosso campo
:
Passo 3
Calculando cada derivada parcial:
-
-
(pois 2 é constante) -
Então, somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional do campo
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos aplicar isso ao nosso campo
:
Passo 5
Calculando cada componente do rotacional:
-
(pois 2xz não depende de y) -
Então, a primeira componente:
Então, a segunda componente:
Então, a terceira componente:
Portanto, o rotacional é:
Passo 6
Agora, verificamos se o rotacional é nulo. No nosso caso:
Isso significa que o rotacional não é nulo, a menos que
. Portanto, não precisamos encontrar uma função escalar
tal que
.
Resposta
O divergente do campo
é
e o rotacional é
. Como o rotacional não é nulo, não existe uma função escalar
para a qual
.