Calcule o divergente dos seguintes campos vetoriais: V(x, y, z)=2 x^2 imath+x z^2 jmath-ln z k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o divergente do campo vetorial V(x, y, z) = 2x^2 imath + x z^2 jmath - ln z k. Isso está dentro do assunto de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre divergentes. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o divergente de um campo vetorial, que envolve derivadas parciais dos componentes do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial V = P imath + Q jmath + R k é dado pela fórmula:
div , V = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Ou seja, é a soma das derivadas parciais dos componentes do vetor em relação às suas respectivas variáveis.

Passo 3

Vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial:
  • P(x, y, z) = 2x^2
  • Q(x, y, z) = x z^2
  • R(x, y, z) = -ln z
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Primeiro, calculamos partial Ppartial x:
partialpartial x (2x^2) = 4x

Passo 5

Em seguida, calculamos partial Qpartial y:
Olha que legal, Q não depende de y, então:
partialpartial y (x z^2) = 0

Passo 6

Por último, calculamos partial Rpartial z:
partialpartial z (-ln z) = -1z

Resposta

Somando todas as derivadas parciais, temos:
div , V = 4x + 0 - 1z = 4x - 1z
Então, o divergente do campo vetorial V é 4x - 1z.

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