Encontre a derivada de f(x) nos seguintes casos: f(x)=(x-1x^2)^7 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente encontrar a derivada da função $ f(x) = \left(x - \frac{1}{x{2}}\right){\frac{7}{2}} $. Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas, mais especificamente a regra da cadeia, que é muito útil quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão nos ajudar a aplicar a regra da cadeia. A função $ f(x) $ é uma composição, ou seja, uma função dentro de outra. Podemos pensar da seguinte forma:
  • Função externa: $ u^{\frac{7}{2}} $
  • Função interna: $ u = x - \frac{1}{x^{2}} $

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia. Se temos uma função composta $ f(u) $ onde $ u = g(x) $, então a derivada de $ f $ em relação a $ x $ é:
f(u)
Ou seja, derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa função. Primeiro, derivamos a função externa $ u^{\frac{7}{2}} $ em relação a $ u $:
u^72
Em seguida, derivamos a função interna $ u = x - \frac{1}{x^{2}} $ em relação a $ x $:
u

Passo 5

Agora, juntamos tudo usando a regra da cadeia:
f'(x) = 72 u^52 cdot (1 + 2x^3)
Substituindo $ u $ de volta na expressão:
u

Resposta

A derivada de $ f(x) = \left(x - \frac{1}{x{2}}\right){\frac{7}{2}} $ é:
f(x) = (x - 1x^2)^72

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