Calcule domínio, imagem, período, intervalos de positividade, e esboce o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o domínio, imagem, período, intervalos de positividade e esboçar o gráfico da função
. Isso envolve conceitos de funções trigonométricas e transformações de funções. Vamos precisar entender o que cada um desses termos significa para resolver a questão passo a passo.
Passo 2
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
está definida para todos os números reais, ou seja,
. Como a função valor absoluto
também está definida para todos os números reais, o domínio de
é:
Passo 3
Imagem: A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Sabemos que
varia entre -1 e 1, ou seja,
. Ao aplicar o valor absoluto, qualquer valor negativo de
se torna positivo. Portanto, a imagem de
fica entre 0 e 1:
Passo 4
Período: O período de uma função trigonométrica é o menor intervalo após o qual a função se repete.
A função
tem um período de
. No entanto, ao aplicar o valor absoluto, a função
repete seu padrão a cada
, já que
e o valor absoluto elimina o sinal negativo. Portanto, o período de
é:
Passo 5
Intervalos de Positividade: Estamos procurando os valores de
para os quais
.
Como
é sempre maior ou igual a zero, a função é positiva exceto quando
.
Sabemos que
quando:
Portanto, os intervalos de positividade são todos os reais, exceto esses pontos específicos onde a função é zero.
Passo 6
Esboço do Gráfico:
- O gráfico de
se parece com o de , mas todas as partes que seriam negativas se tornam positivas, formando “v” no lugar dos “cossenos”. - O gráfico tem picos em
quando (isto é, em ) e toca o eixo em . - O padrão se repete a cada
, devido ao período reduzido.

Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Período:
- Intervalos de Positividade: Todos os
, exceto , onde é inteiro - Esboço do Gráfico: Gráfico de
mostrando ondas positivas com picos em 1, tocando o eixo em e repetindo a cada