Calcule domínio, imagem, período, intervalos de positividade, e esboce o gráfico:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o domínio, imagem, período, intervalos de positividade e esboçar o gráfico da função . Isso envolve conceitos de funções trigonométricas e transformações de funções. Vamos precisar entender o que cada um desses termos significa para resolver a questão passo a passo.

Passo 2

Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função está definida para todos os números reais, ou seja, . Como a função valor absoluto também está definida para todos os números reais, o domínio de é:
í

Passo 3

Imagem: A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Sabemos que varia entre -1 e 1, ou seja, . Ao aplicar o valor absoluto, qualquer valor negativo de se torna positivo. Portanto, a imagem de fica entre 0 e 1:

Passo 4

Período: O período de uma função trigonométrica é o menor intervalo após o qual a função se repete.
A função tem um período de . No entanto, ao aplicar o valor absoluto, a função repete seu padrão a cada , já que e o valor absoluto elimina o sinal negativo. Portanto, o período de é:
í

Passo 5

Intervalos de Positividade: Estamos procurando os valores de para os quais .
Como é sempre maior ou igual a zero, a função é positiva exceto quando .
Sabemos que quando:
Portanto, os intervalos de positividade são todos os reais, exceto esses pontos específicos onde a função é zero.

Passo 6

Esboço do Gráfico:
  1. O gráfico de se parece com o de , mas todas as partes que seriam negativas se tornam positivas, formando “v” no lugar dos “cossenos”.
  2. O gráfico tem picos em quando (isto é, em ) e toca o eixo em .
  3. O padrão se repete a cada , devido ao período reduzido.
Gráfico de f(x) = |cos x| (Nota: Imagine um gráfico com essas características)

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Período:
  • Intervalos de Positividade: Todos os , exceto , onde é inteiro
  • Esboço do Gráfico: Gráfico de mostrando ondas positivas com picos em 1, tocando o eixo em e repetindo a cada

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