Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: , no ponto e no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos as derivadas e da equação em pontos específicos. Isso envolve derivação implícita, que é usada quando a equação relaciona e de forma que não conseguimos isolar facilmente uma variável na outra. Para resolver, vamos precisar lembrar como aplicar a derivada em ambos os lados da equação e resolver para a derivada que queremos encontrar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar no ponto . A derivada representa , ou seja, a taxa de variação de em relação a .
Começamos diferenciando a equação em relação a :
Isso resulta em:
Agora, isolamos :
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores do ponto na expressão que encontramos para :
Podemos simplificar isso racionalizando o denominador:
Passo 4
Agora, vamos calcular no ponto . Aqui, representa , a taxa de variação de em relação a .
A partir da derivada que encontramos anteriormente:
Podemos inverter para encontrar :
Passo 5
Substituindo os valores do ponto na expressão para :
E novamente, racionalizando o denominador:
Resposta
A derivada no ponto é e a derivada no ponto também é .