Calcule
a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função inversa de
no ponto
, ou seja,
. O enunciado nos diz que
. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas de funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar saber como relacionar a derivada da função inversa com a derivada da função original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante do cálculo: a derivada da função inversa. Se
é uma função diferenciável e inversível, então a derivada da sua inversa no ponto
é dada por:
Essa fórmula nos mostra que para achar a derivada da inversa, a gente precisa da derivada da função original no ponto que corresponde ao inverso de
.
Passo 3
A gente já sabe que
. Isso significa que
, já que a função inversa “desfaz” a ação da função original. Agora, substituindo isso na fórmula da derivada da inversa:
Então, para encontrar
, a gente só precisa da derivada de
no ponto
.
Passo 4
Se na questão anterior a gente já calculou
, basta substituir esse valor na expressão que encontramos. Assim, teremos o valor exato da derivada da função inversa no ponto
.
Resposta
Exercícios relacionados
Se $\lim _{x \rightarrow
Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
, no ponto de ordenada
Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
, no ponto
e
no ponto
Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
, no ponto de abscissa