Calcule a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função inversa de no ponto , ou seja, . O enunciado nos diz que . Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas de funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar saber como relacionar a derivada da função inversa com a derivada da função original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante do cálculo: a derivada da função inversa. Se é uma função diferenciável e inversível, então a derivada da sua inversa no ponto é dada por:
Essa fórmula nos mostra que para achar a derivada da inversa, a gente precisa da derivada da função original no ponto que corresponde ao inverso de .

Passo 3

A gente já sabe que . Isso significa que , já que a função inversa “desfaz” a ação da função original. Agora, substituindo isso na fórmula da derivada da inversa:
Então, para encontrar , a gente só precisa da derivada de no ponto .

Passo 4

Se na questão anterior a gente já calculou , basta substituir esse valor na expressão que encontramos. Assim, teremos o valor exato da derivada da função inversa no ponto .

Resposta

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Se $\lim _{x \rightarrow
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Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados: , no ponto de abscissa