Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados: raiz(y) - raiz_cubica(x) = 1 + x, no ponto de abscissa x0 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada pela equação , no ponto onde a abscissa . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de y quando x = 1. Isso nos dá o ponto específico no gráfico onde vamos calcular as retas.
Substituindo x = 1 na equação:
Sabendo que , temos:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . Como a equação envolve tanto x quanto y, vamos usar a derivação implícita.
Derivando ambos os lados da equação em relação a x:
Calculando cada derivada:
Simplificando:

Passo 4

Vamos substituir os valores de x = 1 e na equação da derivada para encontrar no ponto específico:
Simplificando:
Resolvendo para :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente ( ) e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 6

Para encontrar a reta normal, precisamos da inclinação que é o recíproco negativo da inclinação da reta tangente. Então:
Usando novamente a fórmula ponto-inclinação com o ponto :
Essa é a equação da reta normal.

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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