Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
, no ponto de abscissa
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada pela equação
, no ponto onde a abscissa
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de
quando
. Isso nos dá o ponto específico no gráfico onde vamos calcular as retas.
Substituindo
na equação:
Sabendo que
, temos:
Então, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada
para determinar a inclinação da reta tangente no ponto
. Como a equação envolve tanto
quanto
, vamos usar a derivação implícita.
Derivando ambos os lados da equação
em relação a
:
Calculando cada derivada:
Simplificando:
Passo 4
Vamos substituir os valores de
e
na equação da derivada para encontrar
no ponto específico:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente (
) e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 6
Para encontrar a reta normal, precisamos da inclinação que é o recíproco negativo da inclinação da reta tangente. Então:
Usando novamente a fórmula ponto-inclinação com o ponto
:
Essa é a equação da reta normal.
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.
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Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
, no ponto
e
no ponto
Calcule
a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
Calcular os seguintes limites, usando a regra de L
Calcule
a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior: