Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: nos pontos onde a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação envolvendo e precisa encontrar a derivada nesses pontos onde a abscissa e a ordenada são iguais. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a diferenciação implícita, já que está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então precisamos usar a regra da cadeia ao diferenciar termos que envolvem .
A equação é:
Diferenciando ambos os lados:

Passo 3

Agora vamos diferenciar cada termo:
  1. Para , usamos a regra da cadeia:
  1. Para , usamos a regra do produto:
  1. A derivada de uma constante é zero:
Então, substituindo:

Passo 4

Agora, vamos isolar . Primeiro, agrupamos os termos com :
Em seguida, isolamos :
Então:

Passo 5

Mas precisamos encontrar nos pontos onde . Ou seja, substituímos por na nossa equação original:
Essa é uma equação que precisamos resolver para . Vamos tentar valores simples:
Se :
Não funciona.
Se :
Mas
Se :
Ainda não.
Parece que não há solução real onde . Então, não há pontos reais onde a abscissa e a ordenada são iguais para essa equação.

Resposta

Não existem pontos reais onde que satisfaçam a equação . Portanto, a derivada nesses pontos não está definida.

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