Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
nos pontos onde a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação envolvendo
e precisa encontrar a derivada
nesses pontos onde a abscissa
e a ordenada
são iguais. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a diferenciação implícita, já que
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então precisamos usar a regra da cadeia ao diferenciar termos que envolvem
.
A equação é:
Diferenciando ambos os lados:
Passo 3
Agora vamos diferenciar cada termo:
- Para
, usamos a regra da cadeia:
- Para
, usamos a regra do produto:
- A derivada de uma constante
é zero:
Então, substituindo:
Passo 4
Agora, vamos isolar
. Primeiro, agrupamos os termos com
:
Em seguida, isolamos
:
Então:
Passo 5
Mas precisamos encontrar
nos pontos onde
. Ou seja, substituímos
por
na nossa equação original:
Essa é uma equação que precisamos resolver para
. Vamos tentar valores simples:
Se
:
Não funciona.
Se
:
Mas
Se
:
Ainda não.
Parece que não há solução real onde
. Então, não há pontos reais onde a abscissa e a ordenada são iguais para essa equação.
Resposta
Não existem pontos reais onde
que satisfaçam a equação
. Portanto, a derivada
nesses pontos não está definida.
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Determinar a derivada da função
sabendo que
é a inversa da função f, isto é,
:
, para
e
Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
, nos pontos em que
Determine os valores máximo e mínimo locais e globais de
nos seus respectivos intervalos.