Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados: , nos pontos em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função nos pontos onde a segunda derivada é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas: primeira derivada para achar as inclinações das retas tangente e normal, e segunda derivada para encontrar os pontos específicos onde ela é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A primeira derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos ajuda a analisar a concavidade da função e identificar pontos de inflexão, que é onde .
Passo 4
Vamos resolver a equação da segunda derivada igual a zero para encontrar os valores de onde isso acontece:
Dividindo toda a equação por 12 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, . Esse é o ponto onde a segunda derivada é zero.
Passo 5
Agora que temos , vamos encontrar o valor de substituindo na função original:
Então, o ponto é .
Passo 6
Vamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto usando a primeira derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 24.
Passo 7
Usando a fórmula da reta tangente , onde é a inclinação e é o ponto, temos:
Expandindo:
Passo 8
Para a reta normal, precisamos da inclinação que é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então:
Usando novamente a fórmula da reta com :
Multiplicando tudo por 24 para facilitar:
Rearranjando:
Resposta
A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é no ponto onde .