Determinar a derivada da função
sabendo que
é a inversa da função f, isto é,
:
, para
e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função
, sabendo que
é a inversa da função
, ou seja,
. A equação fornecida é
, onde
e
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de derivadas de funções inversas e técnicas de derivação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Temos:
Sabemos que
. Então, a equação fica:
Passo 3
Para encontrar a derivada de
, que é a inversa de
, precisamos relacionar as derivadas de
e
. Sabemos que se
, então:
Portanto, precisamos encontrar
.
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados da equação simplificada em relação a
:
Usando a regra da cadeia e sabendo que
, temos:
Passo 5
Agora, vamos fatorar
:
Então:
Passo 6
Agora, queremos expressar
em termos de
, onde
. Assim, a derivada da inversa
é:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
, nos pontos em que
Determinar a derivada da função
sabendo que
é a inversa da função f, isto é,
:
Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
nos pontos onde a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor.
Determine os valores máximo e mínimo locais e globais de
nos seus respectivos intervalos.