Determinar a derivada da função g sabendo que g é a inversa da função f, isto é, g = f^(-1): ln(f^2(x)) + 2f(x) = x, para f(x) ≠ 0 e f(x) != -1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função , sabendo que é a inversa da função , ou seja, . A equação fornecida é , onde e . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de derivadas de funções inversas e técnicas de derivação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Temos:
Sabemos que . Então, a equação fica:

Passo 3

Para encontrar a derivada de , que é a inversa de , precisamos relacionar as derivadas de e . Sabemos que se , então:
Portanto, precisamos encontrar .

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados da equação simplificada em relação a :
Usando a regra da cadeia e sabendo que , temos:

Passo 5

Agora, vamos fatorar :
Então:

Passo 6

Agora, queremos expressar em termos de , onde . Assim, a derivada da inversa é:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados