Determinar a derivada da função sabendo que é a inversa da função f, isto é, : , para e

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função , sabendo que é a inversa da função , ou seja, . A equação fornecida é , onde e . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de derivadas de funções inversas e técnicas de derivação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Temos:
Sabemos que . Então, a equação fica:

Passo 3

Para encontrar a derivada de , que é a inversa de , precisamos relacionar as derivadas de e . Sabemos que se , então:
Portanto, precisamos encontrar .

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados da equação simplificada em relação a :
Usando a regra da cadeia e sabendo que , temos:

Passo 5

Agora, vamos fatorar :
Então:

Passo 6

Agora, queremos expressar em termos de , onde . Assim, a derivada da inversa é:

Resposta

A derivada da função é:

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Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados: , nos pontos em que
Determinar a derivada da função sabendo que é a inversa da função f, isto é, :
Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: nos pontos onde a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor.
Determine os valores máximo e mínimo locais e globais de nos seus respectivos intervalos.