Calcule
, sendo
dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
. Isso é um problema de derivadas, mais especificamente usando a regra do produto. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções polinomiais e aplicar a regra do produto para multiplicar três funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra do produto. Quando temos uma função que é o produto de duas funções,
e
, a derivada é:
Mas aqui, temos três funções multiplicadas:
,
, e
. Para derivar isso, a gente precisa expandir a regra do produto para três fatores.
Passo 3
A derivada de
será:
Isso significa que a gente vai derivar cada função separadamente, mantendo as outras duas intactas, e somar tudo.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas de cada função:
Agora, substituindo na fórmula da derivada:
Passo 5
Podemos simplificar a expressão se quisermos, mas muitas vezes deixar a derivada dessa forma já está correto. Então, a derivada de
é:
Resposta
Exercícios relacionados
Considere um reticulado
. Vamos chamar de trajetória permitida um caminho poligonal que sai de
, chega em
, nunca toca pontos abaixo da diagonal e a cada passo sobe uma unidade ou anda para a direita uma unidade, veja a Figura 3.11. Seja
o número de trajetórias permitidas. Determine uma relação de recorrência para
.
Figura 3.11. Exemplo de trajetória permitida.
Uma triangulação de um polígono convexo
é uma divisão de
em triângulos usando algumas de suas diagonais de modo que suas diagonais não se intersectem, veja a Figura 3.10. Encontre uma relação de recorrência
Figura 3.10. Duas triangulações diferentes do pentágono
.
para , onde
denota o número de triangulações de um polígono convexo de
lados.
Dica: para ajudar na contagem, fixe um lado do polígono e o triângulo que contém esse lado, e faça a contagem. Depois some sobre todos os triângulos possíveis que contém esse lado.
para
Dica: para ajudar na contagem, fixe um lado do polígono e o triângulo que contém esse lado, e faça a contagem. Depois some sobre todos os triângulos possíveis que contém esse lado.
Os limites a seguir apresentam indeterminações do tipo
. Esses limites apresentam razões entre polinômios, calcule-os:
Os limites a seguir apresentam indeterminações do tipo
. Calcule-os: