Os limites a seguir apresentam indeterminações do tipo % / 0. Calcule-os: lim x 1(x^4-1x^3-1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que calcular o limite de uma função quando lim x 1(x^4-1x^3-1) se aproxima de 1. A função dada é:
Aqui, estamos lidando com limites que inicialmente apresentam uma indeterminação do tipo , pois substituindo diretamente, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero. Para resolver isso, vamos precisar fatorar as expressões do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador. Sabemos que x^n - 1 = (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + dots + x + 1) pode ser fatorado usando a diferença de potências:
x^4 - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)
Aplicando isso ao numerador e ao denominador:
Numerador:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
Denominador:

Passo 3

Agora que fatoramos ambas as partes, podemos reescrever o limite substituindo as expressões fatoradas:
lim x 1((x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1))
Perceba que o termo lim x 1(x^3 + x^2 + x + 1x^2 + x + 1) está presente tanto no numerador quanto no denominador. Como está se aproximando de 1, mas não é exatamente 1, podemos cancelar esses termos:

Passo 4

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir diretamente 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 :
Numerador:
1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
Denominador:

Resposta

O valor do limite é .

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