Calcule o fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina cúbica simples (CS).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina cúbica simples (CS). O conteúdo envolvido aqui é a cristalografia, especificamente as estruturas cristalinas e como determinar o quanto os átomos ocupam o espaço dentro de uma célula unitária. Para resolver isso, precisamos entender o que é o fator de empacotamento e como calcular a quantidade de espaço ocupado pelos átomos em uma estrutura cúbica simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fator de empacotamento. O fator de empacotamento atômico é a razão entre o volume ocupado pelos átomos na célula unitária e o volume total da célula unitária. Ele nos dá uma ideia de quão densamente os átomos estão arranjados na estrutura cristalina.

Passo 3

Para uma estrutura cúbica simples, cada célula unitária tem um átomo em cada um dos 8 vértices do cubo. No entanto, cada átomo nos vértices é compartilhado por 8 células unitárias diferentes. Portanto, em uma célula cúbica simples, temos efetivamente 1 átomo por célula.

Passo 4

Vamos chamar de o comprimento da aresta do cubo. O volume da célula cúbica simples é .

Passo 5

Agora, precisamos calcular o volume ocupado pelos átomos na célula. O átomo é considerado esférico, e o volume de uma esfera é dado por á, onde é o raio do átomo.

Passo 6

Em uma estrutura cúbica simples, o diâmetro do átomo é igual ao comprimento da aresta do cubo, ou seja, . Portanto, o raio .

Passo 7

Substituindo Vátomo = 43pi ( a2 )^3 = 43pi a^38 = pi a^36 na fórmula do volume do átomo, temos:
á

Passo 8

Como temos 1 átomo por célula cúbica simples, o volume total ocupado pelos átomos na célula é á.

Passo 9

Agora, calculamos o fator de empacotamento ( PF = VátomosVcubo = pi a^36a^3 = pi6 approx 0,5236 ) dividindo o volume ocupado pelos átomos pelo volume da célula:
á

Resposta

O fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina cúbica simples (CS) é , aproximadamente 0,5236.

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