Calcule o fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina cúbica simples (CS).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina cúbica simples (CS). O conteúdo envolvido aqui é a cristalografia, especificamente as estruturas cristalinas e como determinar o quanto os átomos ocupam o espaço dentro de uma célula unitária. Para resolver isso, precisamos entender o que é o fator de empacotamento e como calcular a quantidade de espaço ocupado pelos átomos em uma estrutura cúbica simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fator de empacotamento. O fator de empacotamento atômico é a razão entre o volume ocupado pelos átomos na célula unitária e o volume total da célula unitária. Ele nos dá uma ideia de quão densamente os átomos estão arranjados na estrutura cristalina.
Passo 3
Para uma estrutura cúbica simples, cada célula unitária tem um átomo em cada um dos 8 vértices do cubo. No entanto, cada átomo nos vértices é compartilhado por 8 células unitárias diferentes. Portanto, em uma célula cúbica simples, temos efetivamente 1 átomo por célula.
Passo 4
Vamos chamar de
o comprimento da aresta do cubo. O volume da célula cúbica simples é
.
Passo 5
Agora, precisamos calcular o volume ocupado pelos átomos na célula. O átomo é considerado esférico, e o volume de uma esfera é dado por
, onde
é o raio do átomo.
Passo 6
Em uma estrutura cúbica simples, o diâmetro do átomo é igual ao comprimento da aresta do cubo, ou seja,
. Portanto, o raio
.
Passo 7
Substituindo
na fórmula do volume do átomo, temos:
Passo 8
Como temos 1 átomo por célula cúbica simples, o volume total ocupado pelos átomos na célula é
.
Passo 9
Agora, calculamos o fator de empacotamento (
) dividindo o volume ocupado pelos átomos pelo volume da célula:
Resposta
O fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina cúbica simples (CS) é
, aproximadamente 0,5236.