Calcule os fatores de empacotamento atômico (FE) para as estruturas de cúbica primária, cúbica de corpo centrado e cúbica de face centrada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os Fatores de Empacotamento Atômico (FE) para três tipos de estruturas cristalinas: cúbica primária, cúbica de corpo centrado e cúbica de face centrada. O conteúdo aqui envolve entender como os átomos se organizam nessas estruturas e como calcular quanto espaço eles ocupam. Para isso, vamos precisar saber o número de átomos por célula unitária de cada estrutura e usar a fórmula do FE.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Fator de Empacotamento Atômico (FE). O FE é uma medida que indica a eficiência com que os átomos estão empacotados em uma estrutura cristalina. Ele é calculado pela razão entre o volume ocupado pelos átomos na célula unitária e o volume total da célula unitária. A fórmula do FE é:
Onde:
-
é o volume total ocupado pelos átomos na célula unitária. -
é o volume da célula unitária.
Vamos calcular isso para cada uma das três estruturas.
Passo 3
Cúbica Primária (Cúbica Simples):
- Número de átomos por célula unitária: 1 átomo.
- Volume do átomo: Supondo que os átomos sejam esferas, o volume de um átomo é
, onde é o raio do átomo. - Volume da célula unitária: Como a célula é um cubo,
, onde é a aresta do cubo. Na cúbica primária, , então . - Volume total dos átomos na célula:
. - Calculando o FE:
Passo 4
Cúbica de Corpo Centrado (CCC):
- Número de átomos por célula unitária: 2 átomos (1 no centro + 8 oitavos nos cantos).
- Volume do átomo:
. - Volume da célula unitária: Na CCC, a relação entre a aresta do cubo e o raio é
, então:
- Volume total dos átomos na célula:
. - Calculando o FE:
Passo 5
Cúbica de Face Centrada (CFC):
- Número de átomos por célula unitária: 4 átomos (6 faces com meio átomo cada + 8 cantos com um oitavo).
- Volume do átomo:
. - Volume da célula unitária: Na CFC, a relação entre a aresta do cubo e o raio é
, então:
- Volume total dos átomos na célula:
. - Calculando o FE:
Resposta
Os Fatores de Empacotamento Atômico são aproximadamente:
- Cúbica Primária: 52,4%
- Cúbica de Corpo Centrado: 68,0%
- Cúbica de Face Centrada: 74,0%
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