Calcule os fatores de empacotamento atômico (FE) para as estruturas de cúbica primária, cúbica de corpo centrado e cúbica de face centrada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os Fatores de Empacotamento Atômico (FE) para três tipos de estruturas cristalinas: cúbica primária, cúbica de corpo centrado e cúbica de face centrada. O conteúdo aqui envolve entender como os átomos se organizam nessas estruturas e como calcular quanto espaço eles ocupam. Para isso, vamos precisar saber o número de átomos por célula unitária de cada estrutura e usar a fórmula do FE.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Fator de Empacotamento Atômico (FE). O FE é uma medida que indica a eficiência com que os átomos estão empacotados em uma estrutura cristalina. Ele é calculado pela razão entre o volume ocupado pelos átomos na célula unitária e o volume total da célula unitária. A fórmula do FE é:
FE = VátomosVcélula times 100% áé
Onde:
  • á é o volume total ocupado pelos átomos na célula unitária.
  • é é o volume da célula unitária.
Vamos calcular isso para cada uma das três estruturas.

Passo 3

Cúbica Primária (Cúbica Simples):
  1. Número de átomos por célula unitária: 1 átomo.
  2. Volume do átomo: Supondo que os átomos sejam esferas, o volume de um átomo é FE = 43pi r^38r^3 times 100% = pi6 times 100% approx 52,4% á, onde é o raio do átomo.
  3. Volume da célula unitária: Como a célula é um cubo, é, onde é a aresta do cubo. Na cúbica primária, , então é.
  4. Volume total dos átomos na célula: á.
  5. Calculando o FE:

Passo 4

Cúbica de Corpo Centrado (CCC):
  1. Número de átomos por célula unitária: 2 átomos (1 no centro + 8 oitavos nos cantos).
  2. Volume do átomo: Vcélula = (4rraiz3)^3 = 64r^33raiz3 á.
  3. Volume da célula unitária: Na CCC, a relação entre a aresta do cubo e o raio é FE = 83pi r^364r^33raiz3 times 100% = pi raiz38 times 100% approx 68,0% , então:
é
  1. Volume total dos átomos na célula: á.
  2. Calculando o FE:

Passo 5

Cúbica de Face Centrada (CFC):
  1. Número de átomos por célula unitária: 4 átomos (6 faces com meio átomo cada + 8 cantos com um oitavo).
  2. Volume do átomo: Vcélula = (2raiz2r)^3 = 16raiz2r^3 á.
  3. Volume da célula unitária: Na CFC, a relação entre a aresta do cubo e o raio é FE = 163pi r^316raiz2r^3 times 100% = pi3raiz2 times 100% approx 74,0% , então:
é
  1. Volume total dos átomos na célula: á.
  2. Calculando o FE:

Resposta

Os Fatores de Empacotamento Atômico são aproximadamente:
  • Cúbica Primária: 52,4%
  • Cúbica de Corpo Centrado: 68,0%
  • Cúbica de Face Centrada: 74,0%

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