Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x, -x, -1) através da superfície S que corresponde a porção do plano x + y + z = 0 situada no interior da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1. Especifique a orientação escolhida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície . Essa superfície é a parte do plano que está dentro da esfera . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo “passa” por essa superfície. Matematicamente, é calculado pela integral de superfície do produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal à superfície .

Passo 3

A superfície é a parte do plano dentro da esfera . Para parametrizar essa superfície, podemos resolver a equação do plano para uma das variáveis, por exemplo, .

Passo 4

Precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Como a equação do plano é , o vetor normal é . Porém, precisamos escolher a orientação da superfície. Vamos escolher o vetor normal apontando para fora da esfera.

Passo 5

Agora, vamos calcular o fluxo usando a fórmula da integral de superfície:
Substituindo e :

Passo 6

A integral ficou simplificada para . Isso significa que o fluxo será vezes a área da superfície . Agora, precisamos calcular a área da porção do plano dentro da esfera.

Passo 7

Para encontrar a área da superfície , vamos usar coordenadas polares no plano . A interseção com a esfera forma um círculo de raio tal que:
Substituindo na equação da esfera:
Isso representa um círculo projetado no plano, cuja área é . Nesse caso, , então a área é:
Á

Passo 8

Agora que temos a área da superfície , podemos calcular o fluxo:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é . A orientação escolhida foi com o vetor normal apontando para fora da esfera.

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