Um condutor cilíndrico, de raio b, contém uma cavidade cilíndrica de raio a; o eixo da cavidade é paralelo ao eixo do condutor e está a uma distância s deste, com a. O condutor conduz uma densidade de corrente J. Encontre a indução magnética B no centro da cavidade. Sugestão: Considere uma densidade de corrente J em toda a seção do condutor cilíndrico e uma densidade de corrente -J na cavidade que se soma com J tornando nula a corrente na cavidade.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um condutor cilíndrico com raio $ b $ que possui uma cavidade cilíndrica interna de raio $ a $. O eixo da cavidade está deslocado do eixo do condutor principal por uma distância $ s $, onde $ a < s < b - a $. O condutor tem uma densidade de corrente $ \vec{J} $. Nosso objetivo é encontrar a indução magnética $ \vec{B} $ no centro dessa cavidade. Para resolver isso, vamos usar o princípio de superposição das correntes e a Lei de Ampère para calcular os campos magnéticos gerados pelas correntes no condutor e na cavidade.

Passo 2

Primeiro, consideramos o campo magnético gerado pela corrente no condutor cilíndrico sem a cavidade. Para um cilindro infinito com densidade de corrente $ \vec{J} $, o campo magnético a uma distância $ r $ do eixo é dado por:
J
onde $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos levar em conta a cavidade. A cavidade não possui corrente, mas podemos modelá-la como se tivesse uma densidade de corrente $ -\vec{J} $ para cancelar a corrente original na região da cavidade. Isso significa que a cavidade cria um campo magnético oposto ao campo do condutor principal.

Passo 4

O campo magnético no centro da cavidade será a soma do campo devido ao condutor principal e do campo devido à cavidade. Como o centro da cavidade está a uma distância $ s $ do eixo do condutor principal, o campo devido ao condutor no centro da cavidade é:
s

Passo 5

O campo devido à cavidade, que tem densidade de corrente $ -\vec{J} $, no centro da cavidade (que está a uma distância $ s $ do eixo da cavidade) também é:
-J

Passo 6

Agora, somamos os dois campos magnéticos para encontrar o campo total no centro da cavidade:
Btotal = Bcondutor + Bcavidade = mu0 J s2 + mu0 (-J) s2

Passo 7

Simplificando a expressão:
Btotal = mu0 J s2 - mu0 J s2 = 0

Resposta

A indução magnética no centro da cavidade é nula, ou seja, $ \vec{B} = 0 $.

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