Calcule (com formalismo integral) o centro de massa de uma haste com uma distribuição uniforme de massa, de comprimento L e massa M. Se um bloco fosse colocado sobre a extremidade direita dessa barra, o que aconteceria com o centro de massa? Explique.

Passo 1

Beleza, o problema é calcular o centro de massa de uma haste com distribuição uniforme de massa, de comprimento L e massa M. Além disso, queremos saber o que acontece com o centro de massa se colocarmos um bloco na extremidade direita dessa barra. Vamos precisar usar o conceito de centro de massa e entender como somar as contribuições de massa de diferentes partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de um objeto é o ponto onde podemos considerar que toda a massa está concentrada para efeitos de análise de movimento. Para uma haste uniforme, a massa está distribuída igualmente ao longo do comprimento.

Passo 3

Como a distribuição é uniforme, o centro de massa da haste sem o bloco fica exatamente no meio dela. Matemáticamente, podemos calcular isso usando a integral:
xcm = 1M integral0^L x cdot ML , dx
Aqui, ML é a densidade linear da haste.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
xcm = 1M cdot ML integral0^L x , dx = 1L cdot [ x^22 ]0^L = 1L cdot L^22 = L2
Então, o centro de massa da haste está no ponto L/2, ou seja, no meio da haste.

Passo 5

Agora, vamos adicionar um bloco de massa m na extremidade direita da haste. Com isso, o sistema passa a ter duas partes: a haste e o bloco. Precisamos recalcular o centro de massa considerando essa nova distribuição de massas.

Passo 6

O novo centro de massa x'cm será dado pela média ponderada dos centros de massa da haste e do bloco:
x'cm = M cdot L2 + m cdot LM + m
Isso acontece porque o bloco adicionado está na extremidade, puxando o centro de massa para a direita.

Resposta

O centro de massa da haste uniforme de comprimento L e massa M está no ponto L/2. Quando um bloco é colocado na extremidade direita da barra, o centro de massa se desloca para a direita, de acordo com a fórmula x'cm = M cdot L2 + m cdot LM + m, ou seja, ele se move para um ponto maior que L/2 dependendo da massa do bloco.

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