Calcule (com formalismo integral) o centro de massa de uma haste com uma distribuição uniforme de massa, de comprimento
e massa
. Se um bloco fosse colocado sobre a extremidade direita dessa barra, o que aconteceria com o centro de massa? Explique.
Passo 1
Beleza, o problema é calcular o centro de massa de uma haste com distribuição uniforme de massa, de comprimento
e massa
. Além disso, queremos saber o que acontece com o centro de massa se colocarmos um bloco na extremidade direita dessa barra. Vamos precisar usar o conceito de centro de massa e entender como somar as contribuições de massa de diferentes partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de um objeto é o ponto onde podemos considerar que toda a massa está concentrada para efeitos de análise de movimento. Para uma haste uniforme, a massa está distribuída igualmente ao longo do comprimento.
Passo 3
Como a distribuição é uniforme, o centro de massa da haste sem o bloco fica exatamente no meio dela. Matemáticamente, podemos calcular isso usando a integral:
Aqui,
é a densidade linear da haste.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
Então, o centro de massa da haste está no ponto
, ou seja, no meio da haste.
Passo 5
Agora, vamos adicionar um bloco de massa
na extremidade direita da haste. Com isso, o sistema passa a ter duas partes: a haste e o bloco. Precisamos recalcular o centro de massa considerando essa nova distribuição de massas.
Passo 6
O novo centro de massa
será dado pela média ponderada dos centros de massa da haste e do bloco:
Isso acontece porque o bloco adicionado está na extremidade, puxando o centro de massa para a direita.
Resposta
O centro de massa da haste uniforme de comprimento
e massa
está no ponto
. Quando um bloco é colocado na extremidade direita da barra, o centro de massa se desloca para a direita, de acordo com a fórmula
, ou seja, ele se move para um ponto maior que
dependendo da massa do bloco.