Calcule fx, fy e fz.
f(x, y) = arctg(xy)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de em relação a , e , ou seja, , e . O conteúdo que vamos usar aqui é o de derivadas parciais, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver, precisamos entender como derivar funções que dependem de mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é . Para derivar em relação a , tratamos como uma constante. A derivada de em relação a é , então aplicando a regra da cadeia:
Agora, derivamos em relação a :
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, começamos com . Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Portanto:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Observando a função , percebemos que não há nenhuma variável presente. Quando derivamos uma função que não depende de uma variável específica, a derivada em relação a essa variável é zero.
Então:

Resposta

As derivadas parciais são:

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