Calcule o gradiente das seguintes funções: (h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o gradiente da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com gradientes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja, Isso nos dá a direção de maior aumento da função.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial. **Derivada parcial em relação a :** Aqui, tratamos e como constantes. Usamos a regra do quociente: **Derivada parcial em relação a :** Aqui, e são constantes: **Derivada parcial em relação a :** Novamente, e são constantes:

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas parciais, montamos o vetor gradiente:

Resposta

O gradiente da função é:

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