Calcule o gradiente das seguintes funções:
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o gradiente da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com gradientes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis: , e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja,
Isso nos dá a direção de maior aumento da função.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada parcial.
**Derivada parcial em relação a :**
Aqui, tratamos e como constantes. Usamos a regra do quociente:
**Derivada parcial em relação a :**
Aqui, e são constantes:
**Derivada parcial em relação a :**
Novamente, e são constantes:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas parciais, montamos o vetor gradiente:
Resposta
O gradiente da função é:
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Explique por que são falsas as seguintes afirmações.
(d) se e tem o mesmo plano tangente no ponto , então .
Explique por que são falsas as seguintes afirmações.
(a) A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é
Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(a)