Explique por que são falsas as seguintes afirmações. (a) A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para explicar por que uma determinada fórmula para o plano tangente é falsa. A fórmula apresentada é: Vamos trabalhar com isso para entender onde está o erro. Para resolver, precisamos saber sobre **planos tangentes** a superfícies definidas por funções de duas variáveis, como .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como realmente se encontra a equação de um plano tangente a uma superfície no ponto . A fórmula correta é: Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos comparar essa fórmula correta com a que foi dada no enunciado: Percebemos que na fórmula do enunciado, os termos e não estão subtraindo e , que no nosso caso são 3 e 4.

Passo 4

Por que isso é importante? Bem, ao subtrair e , estamos ajustando a inclinação do plano tangente em relação ao ponto específico . Sem essa subtração, o plano não estará corretamente "encaixado" na superfície no ponto dado.

Passo 5

Então, se utilizarmos a fórmula do enunciado sem subtrair 3 e 4, o plano tangente não estará passando pelo ponto correto na superfície . Ele será deslocado, o que faz com que não seja realmente tangente naquele ponto específico.

Resposta

A afirmação é falsa porque a equação do plano tangente deve subtrair as coordenadas do ponto de tangência. A fórmula correta seria:

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Determine o plano tangente a superfície no ponto dado. (h) ,
Explique por que são falsas as seguintes afirmações. (d) se e tem o mesmo plano tangente no ponto , então .
Calcule o gradiente das seguintes funções: (h)