Explique por que são falsas as seguintes afirmações.
(d) se
e
tem o mesmo plano tangente no ponto
, então
.
(d) se
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas funções,
e
, que possuem o mesmo plano tangente no ponto
. A afirmação diz que isso implicaria que
e
são iguais. Vamos explorar por que essa afirmação é falsa. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como planos tangentes e diferenciação de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um plano tangente a uma superfície
num ponto específico. O plano tangente é uma aproximação linear da superfície naquele ponto e é definido pela equação:
onde
é o ponto de tangência e
,
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Se dois planos tangentes são iguais no mesmo ponto, isso significa que
e
têm o mesmo valor e as mesmas derivadas parciais nesse ponto.
Passo 3
No entanto, ter o mesmo plano tangente apenas garante que as funções
e
coincidem até o primeiro grau naquele ponto. Ou seja, elas têm o mesmo valor e a mesma inclinação na vizinhança imediata do ponto, mas isso não impede que elas se comportem de forma diferente em escalas maiores ou em termos de termos de ordem superior.
Passo 4
Para mostrar que a afirmação é falsa, podemos fornecer um exemplo concreto de duas funções que têm o mesmo plano tangente no ponto
, mas que não são iguais em geral. Considere as funções:
Ambas as funções têm
, e as derivadas parciais em
são:
Portanto, o plano tangente para ambas as funções no ponto
é
. Contudo, para qualquer
diferente de
,
e
claramente não são iguais, já que
possui o termo adicional
.
Resposta
Assim, a afirmação é falsa porque duas funções podem ter o mesmo plano tangente em um ponto, garantindo que elas coincidam até o primeiro grau nesse ponto, mas ainda assim serem diferentes devido a termos de ordem superior. O exemplo dado ilustra claramente essa diferença.
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Explique por que são falsas as seguintes afirmações.
(a) A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto
é
(a) A equação do plano tangente ao gráfico de
Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(h) ,
(h)
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(h)
(h)