Explique por que são falsas as seguintes afirmações.
(d) se e tem o mesmo plano tangente no ponto , então .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas funções, e , que possuem o mesmo plano tangente no ponto . A afirmação diz que isso implicaria que e são iguais. Vamos explorar por que essa afirmação é falsa. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como planos tangentes e diferenciação de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um plano tangente a uma superfície num ponto específico. O plano tangente é uma aproximação linear da superfície naquele ponto e é definido pela equação:
onde é o ponto de tangência e , são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Se dois planos tangentes são iguais no mesmo ponto, isso significa que e têm o mesmo valor e as mesmas derivadas parciais nesse ponto.

Passo 3

No entanto, ter o mesmo plano tangente apenas garante que as funções e coincidem até o primeiro grau naquele ponto. Ou seja, elas têm o mesmo valor e a mesma inclinação na vizinhança imediata do ponto, mas isso não impede que elas se comportem de forma diferente em escalas maiores ou em termos de termos de ordem superior.

Passo 4

Para mostrar que a afirmação é falsa, podemos fornecer um exemplo concreto de duas funções que têm o mesmo plano tangente no ponto , mas que não são iguais em geral. Considere as funções:
Ambas as funções têm , e as derivadas parciais em são:
Portanto, o plano tangente para ambas as funções no ponto é . Contudo, para qualquer diferente de , e claramente não são iguais, já que possui o termo adicional .

Resposta

Assim, a afirmação é falsa porque duas funções podem ter o mesmo plano tangente em um ponto, garantindo que elas coincidam até o primeiro grau nesse ponto, mas ainda assim serem diferentes devido a termos de ordem superior. O exemplo dado ilustra claramente essa diferença.

Exercícios relacionados

Explique por que são falsas as seguintes afirmações.
(a) A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é
Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(h) ,
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(h)