Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
© oint e^zz^2-1 d z, |z|=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa! A questão pede para calcular a integral de ao redor do círculo . Estamos lidando com Cálculo de Integrais de Contorno em Análise Complexa, e para isso, vamos precisar usar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função z^2 - 1 = 0 implies z = 1 e z = -1 não é analítica, ou seja, onde ela tem singularidades. Isso acontece quando o denominador é zero:
Então, temos duas singularidades: e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do caminho de integração . Como e , ambas estão dentro do círculo de raio 2.

Passo 4

Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos calcular os resíduos da função nas singularidades dentro do caminho. A função pode ser escrita como:
f(z) = e^z(z - 1)(z + 1)
As singularidades Res(f, z0) = e^z0(z0 - 1)(z0 + 1) onde z0 é a singularidade e são pólos simples, então o resíduo em cada ponto é dado por:
é

Passo 5

Calculando os resíduos:
  • Para Res(f, 1) = e^1(1 - 1)(1 + 1) = e2 :
Res(f, -1) = e^-1(-1 - 1)(-1 + 1) = e^-1-2 cdot 0
  • Para Res(f, z0) = e^z0(z0 - z1) :
Res(f, 1) = e^12 cdot 1 = e2
Ops, parece que houve um erro aqui! Na verdade, a fórmula correta para resíduos em pólos simples é:
Res(f, -1) = e^-12 cdot (-1) = -e^-12
onde é o outro zero do denominador. Vamos refazer:
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, somamos os resíduos das singularidades dentro do contorno:
ResTotal = e2 - e^-12 = e - e^-12

Passo 7

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a oint e^zz^2-1 dz = 2pi i cdot e - e^-12 = pi i (e - e^-1) vezes a soma dos resíduos:

Resposta

A integral vale .

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