Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral complexa! A questão pede para calcular a integral de
ao redor do círculo
. Estamos lidando com Cálculo de Integrais de Contorno em Análise Complexa, e para isso, vamos precisar usar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função
não é analítica, ou seja, onde ela tem singularidades. Isso acontece quando o denominador é zero:
Então, temos duas singularidades:
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do caminho de integração
. Como
e
, ambas estão dentro do círculo de raio 2.
Passo 4
Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos calcular os resíduos da função nas singularidades dentro do caminho. A função pode ser escrita como:
As singularidades
e
são pólos simples, então o resíduo em cada ponto é dado por:
Passo 5
Calculando os resíduos:
- Para
:
- Para
:
Ops, parece que houve um erro aqui! Na verdade, a fórmula correta para resíduos em pólos simples é:
onde
é o outro zero do denominador. Vamos refazer:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, somamos os resíduos das singularidades dentro do contorno:
Passo 7
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a
vezes a soma dos resíduos:
Resposta
A integral vale
.