Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(l) oint|z|=2 1(z-1)^3(z-7) d z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema é de Cálculo Complexo, especificamente envolvendo integrais de contorno e o Teorema dos Resíduos. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (ou pólos) e calcular o resíduo nesses pontos que estão dentro do caminho de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a função não é analítica, ou seja, onde o denominador é zero. Temos dois pontos:
Agora, vamos verificar quais desses pontos estão dentro do caminho de integração :
  • está dentro.
  • está fora.
Então, só precisamos considerar o ponto .

Passo 3

O próximo passo é calcular o resíduo da função no ponto . Como o fator está elevado ao cubo, é um pólo de ordem 3. Para pólos de ordem , usamos uma fórmula específica para encontrar o resíduo.

Passo 4

A fórmula para o resíduo em um pólo de ordem Res(f, z0) = 1(n-1)! limz to z0 d^n-1dz^n-1 [(z - z0)^n f(z)] é:
g(z) = 1z - 7
No nosso caso, g'(z) = -1(z - 7)^2 e g''(z) = 2(z - 7)^3 . Vamos identificar a parte de g''(1) = 2(1 - 7)^3 = 2(-6)^3 = 2-216 = -1108 que não envolve :
Agora, precisamos calcular a segunda derivada de em :
Avaliando em :

Passo 5

Aplicando a fórmula do resíduo:
Res(f, 1) = 12! cdot g''(1) = 12 cdot (-1108) = -1216

Passo 6

Finalmente, segundo o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a oint|z|=2 1(z-1)^3(z-7) dz = 2pi i cdot (-1216) = -2pi i216 = -pi i108 vezes o resíduo dentro do caminho de integração:

Resposta

boxed -dfracpi i108

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