Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(l)
.
(l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse problema é de Cálculo Complexo, especificamente envolvendo integrais de contorno e o Teorema dos Resíduos. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (ou pólos) e calcular o resíduo nesses pontos que estão dentro do caminho de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a função
não é analítica, ou seja, onde o denominador é zero. Temos dois pontos:
Agora, vamos verificar quais desses pontos estão dentro do caminho de integração
:
-
→ está dentro. -
→ está fora.
Então, só precisamos considerar o ponto
.
Passo 3
O próximo passo é calcular o resíduo da função no ponto
. Como o fator
está elevado ao cubo,
é um pólo de ordem 3. Para pólos de ordem
, usamos uma fórmula específica para encontrar o resíduo.
Passo 4
A fórmula para o resíduo em um pólo de ordem
é:
No nosso caso,
e
. Vamos identificar a parte de
que não envolve
:
Agora, precisamos calcular a segunda derivada de
em
:
Avaliando em
:
Passo 5
Aplicando a fórmula do resíduo:
Passo 6
Finalmente, segundo o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a
vezes o resíduo dentro do caminho de integração: