Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, para o campo vetorial F e a superfície orientada S abaixo. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
F(x, y, z)=x z e^y i-x z e^y j+z k, onde S é a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante, com orientação para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície para um campo vetorial dado e uma superfície que é a parte do plano no primeiro octante, com orientação para baixo. O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais de superfície e entendimento de vetores normais orientados. Vamos precisar usar a parametrização da superfície e calcular o vetor normal orientado conforme indicado.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a superfície z = 1 - x - y . Como é a parte do plano no primeiro octante, isso significa que , e são todos maiores ou iguais a zero. Podemos resolver a equação do plano para :
Isso nos dá em termos de e , o que vai facilitar a parametrização da superfície.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície. Podemos usar r(x, y) = x i + y j + (1 - x - y) k e como parâmetros, já que depende deles:
Aqui, e variam de 0 a 1, mas precisam satisfazer para estar no primeiro octante.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o vetor normal. Calculamos as derivadas parciais de rx = partial rpartial x = i - k em relação a ry = partial rpartial y = j - k e :

Passo 5

Agora, encontramos o vetor normal n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 = i(0 cdot (-1) - (-1) cdot 1) - j(1 cdot (-1) - (-1) cdot 0) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0) calculando o produto vetorial = i(0 + 1) - j(-1 - 0) + k(1 - 0) = i + j + k :

Passo 6

A orientação da superfície é para baixo, então precisamos que o vetor normal aponte para baixo. Nosso vetor normal atual é n = -(i + j + k) = -i - j - k , que aponta para cima. Para ajustar a orientação, multiplicamos por :

Passo 7

Agora, precisamos calcular o diferencial de área dS = |n| , dx , dy . Já que parametrizamos em termos de |n| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz3 e dS = raiz3 , dx , dy , temos:
Primeiro encontramos o módulo de :
Então,

Passo 8

Agora vamos substituir F(x, y, z) = x z e^y i - x z e^y j + z k na integral. O campo vetorial é dado por:
F(x, y) = x (1 - x - y) e^y i - x (1 - x - y) e^y j + (1 - x - y) k
Substituindo :

Passo 9

Agora, calculamos o produto escalar F cdot n = [x (1 - x - y) e^y] (-1) + [-x (1 - x - y) e^y] (-1) + [(1 - x - y)] (-1) :
= -x (1 - x - y) e^y + x (1 - x - y) e^y - (1 - x - y)
= 0 - (1 - x - y) = -(1 - x - y)

Passo 10

Agora, montamos a integral de superfície:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F cdot n , dS = integral duplaD - (1 - x - y) cdot raiz3 , dx , dy
= -raiz3 integral duplaD (1 - x - y) , dx , dy
Onde é a região no plano onde , e .

Passo 11

Vamos calcular a integral dupla:
-raiz3 integral0^1 integral0^1 - x (1 - x - y) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 - x (1 - x - y) , dy = [ (1 - x)y - y^22 ]0^1 - x = (1 - x)(1 - x) - (1 - x)^22 :
= (1 - x)^2 - (1 - x)^22 = (1 - x)^22

Passo 12

Agora, integramos em relação a -raiz3 integral0^1 (1 - x)^22 , dx = -raiz32 integral0^1 (1 - 2x + x^2) , dx :
= -raiz32 [ x - x^2 + x^33 ]0^1 = -raiz32 (1 - 1 + 13 ) = -raiz32 cdot 13 = -raiz36

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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