Calcule a integral de superfície , para o campo vetorial e a superfície orientada abaixo. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora). , onde é a parte do plano no primeiro octante, com orientação para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície para um campo vetorial dado e uma superfície que é a parte do plano no primeiro octante, com orientação para baixo. O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais de superfície e entendimento de vetores normais orientados. Vamos precisar usar a parametrização da superfície e calcular o vetor normal orientado conforme indicado.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a superfície . Como é a parte do plano no primeiro octante, isso significa que , e são todos maiores ou iguais a zero. Podemos resolver a equação do plano para :
Isso nos dá em termos de e , o que vai facilitar a parametrização da superfície.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície. Podemos usar e como parâmetros, já que depende deles:
Aqui, e variam de 0 a 1, mas precisam satisfazer para estar no primeiro octante.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o vetor normal. Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 5
Agora, encontramos o vetor normal calculando o produto vetorial :
Passo 6
A orientação da superfície é para baixo, então precisamos que o vetor normal aponte para baixo. Nosso vetor normal atual é n = -(i + j + k) = -i - j - k , que aponta para cima. Para ajustar a orientação, multiplicamos por :
Passo 7
Agora, precisamos calcular o diferencial de área dS = |n| , dx , dy . Já que parametrizamos em termos de |n| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz3 e dS = raiz3 , dx , dy , temos:
Primeiro encontramos o módulo de :
Então,
Passo 8
Agora vamos substituir F(x, y, z) = x z e^y i - x z e^y j + z k na integral. O campo vetorial é dado por:
F(x, y) = x (1 - x - y) e^y i - x (1 - x - y) e^y j + (1 - x - y) k
Substituindo :
Passo 9
Agora, calculamos o produto escalar F cdot n = [x (1 - x - y) e^y] (-1) + [-x (1 - x - y) e^y] (-1) + [(1 - x - y)] (-1) :
= -x (1 - x - y) e^y + x (1 - x - y) e^y - (1 - x - y)
= 0 - (1 - x - y) = -(1 - x - y)
Passo 10
Agora, montamos a integral de superfície:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F cdot n , dS = integral duplaD - (1 - x - y) cdot raiz3 , dx , dy
= -raiz3 integral duplaD (1 - x - y) , dx , dy
Onde é a região no plano onde , e .
Passo 11
Vamos calcular a integral dupla:
-raiz3 integral0^1 integral0^1 - x (1 - x - y) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 - x (1 - x - y) , dy = [ (1 - x)y - y^22 ]0^1 - x = (1 - x)(1 - x) - (1 - x)^22 :
= (1 - x)^2 - (1 - x)^22 = (1 - x)^22
Passo 12
Agora, integramos em relação a -raiz3 integral0^1 (1 - x)^22 , dx = -raiz32 integral0^1 (1 - 2x + x^2) , dx :