Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla
. Isso envolve cálculo de integrais duplas, uma parte importante de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar uma substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
indo de
até
e, para cada
,
vai de
até
. Isso forma uma região triangular no plano
.
Passo 3
Para facilitar, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
. Então, precisamos determinar os novos limites de integração.
Passo 4
Quando trocamos a ordem,
vai de
a
. Para cada
,
varia de
até
(já que
implica
). Assim, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Nota que
não depende de
, então a integral fica fácil:
Passo 6
Substituindo isso na integral externa, temos:
Passo 7
Para resolver
, vamos usar uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
A integral de
em relação a
é
. Então, avaliando de
a
:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a região limitada por
.
Calcule as integrais abaixo:
Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:
(Reginaldo) Considere a seguinte equação diferencial:
(b) Encontre a solução geral dessa EDO.