Calcule as integrais abaixo: integral0^1 integral3 y^3 cos (x^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla . Isso envolve cálculo de integrais duplas, uma parte importante de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos indo de até e, para cada , vai de até . Isso forma uma região triangular no plano .

Passo 3

Para facilitar, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Então, precisamos determinar os novos limites de integração.

Passo 4

Quando trocamos a ordem, integral0^3 integral0^x3 cos(x^2) dy dx vai de a . Para cada , varia de até (já que implica ). Assim, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integral0^x3 cos(x^2) dy = cos(x^2) cdot (x3 - 0) = x3 cos(x^2) . Nota que não depende de , então a integral fica fácil:

Passo 6

Substituindo isso na integral externa, temos:
integral0^3 x3 cos(x^2) dx = 13 integral0^3 x cos(x^2) dx

Passo 7

Para resolver , vamos usar uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .

Passo 8

Substituindo na integral:
13 cdot 12 integralu=0^u=9 cos(u) du = 16 integral0^9 cos(u) du

Passo 9

A integral de 16 [ sin(9) - sin(0) ] = sin(9)6 em relação a é . Então, avaliando de a :

Resposta

A integral vale .

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