Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla . Isso envolve cálculo de integrais duplas, uma parte importante de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos indo de até e, para cada , vai de até . Isso forma uma região triangular no plano .

Passo 3

Para facilitar, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Então, precisamos determinar os novos limites de integração.

Passo 4

Quando trocamos a ordem, vai de a . Para cada , varia de até (já que implica ). Assim, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a . Nota que não depende de , então a integral fica fácil:

Passo 6

Substituindo isso na integral externa, temos:

Passo 7

Para resolver , vamos usar uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .

Passo 8

Substituindo na integral:

Passo 9

A integral de em relação a é . Então, avaliando de a :

Resposta

A integral vale .

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