Calcule
, onde
é a região limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é delimitada pelas curvas
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é limitada pelas duas parábolas:
e
. Para saber onde elas se encontram, vamos igualar as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação para encontrar os pontos de interseção:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora que sabemos os limites para
, vamos determinar qual das funções está acima da outra na região
. Vamos testar um valor de
entre
e
, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
na região
.
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla. Como a região
está entre
e
, e
varia de
até
, podemos escrever a integral como:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Passo 7
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Observando que as funções ímpares (como
e
) integradas sobre um intervalo simétrico em torno de zero se anulam, restando apenas as funções pares:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
Passo 10
Simplificando ainda mais:
Passo 11
Vamos calcular os termos dentro do parênteses:
Somando tudo:
Passo 12
Substituindo de volta:
Resposta
A integral dupla é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
Considere a integral
b) Esboce a região de integração.
Calcule as integrais abaixo:
Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem: