Calcule , onde é a região limitada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pelas curvas e . Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é limitada pelas duas parábolas: e . Para saber onde elas se encontram, vamos igualar as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação para encontrar os pontos de interseção:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 4

Agora que sabemos os limites para , vamos determinar qual das funções está acima da outra na região . Vamos testar um valor de entre e , por exemplo, :
Como , a função está acima de na região .

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla. Como a região está entre e , e varia de até , podemos escrever a integral como:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :

Passo 7

Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de a :
Observando que as funções ímpares (como e ) integradas sobre um intervalo simétrico em torno de zero se anulam, restando apenas as funções pares:

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:

Passo 10

Simplificando ainda mais:

Passo 11

Vamos calcular os termos dentro do parênteses:
Somando tudo:

Passo 12

Substituindo de volta:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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Calcule as integrais abaixo:
Considere a integral
b) Esboce a região de integração.
Calcule as integrais abaixo:
Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem: