Calcule integral duplaD(x-2 y) d A, onde D é a região limitada por y=x^2+2 e y=2 x^2-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaD(x - 2y) , dA, onde a região D é delimitada pelas curvas y = x^2 + 2e e y = 2x^2 - 2. Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. Ela é limitada pelas duas parábolas: y = x^2 + 2e e y = 2x^2 - 2. Para saber onde elas se encontram, vamos igualar as duas equações:
x^2 + 2e = 2x^2 - 2

Passo 3

Resolvendo a equação para encontrar os pontos de interseção:
x^2 + 2e = 2x^2 - 2 2e + 2 = 2x^2 - x^2 2e + 2 = x^2 x^2 = 2e + 2 x = pm raiz2e + 2
Então, as curvas se intersectam nos pontos x = raiz2e + 2 e x = -raiz2e + 2.

Passo 4

Agora que sabemos os limites para x, vamos determinar qual das funções está acima da outra na região D. Vamos testar um valor de x entre -raiz2e + 2 e raiz2e + 2, por exemplo, x = 0:
y = (0)^2 + 2e = 2e y = 2(0)^2 - 2 = -2
Como 2e > -2, a função y = x^2 + 2e está acima de y = 2x^2 - 2 na região D.

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla. Como a região D está entre x = -raiz2e + 2 e x = raiz2e + 2, e y varia de 2x^2 - 2 até x^2 + 2e, podemos escrever a integral como:
integral duplaD(x - 2y) , dA = integral-raiz2e + 2^raiz2e + 2 integral2x^2 - 2^x^2 + 2e (x - 2y) , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a y:
integral2x^2 - 2^x^2 + 2e (x - 2y) , dy = integral2x^2 - 2^x^2 + 2e x , dy - 2 integral2x^2 - 2^x^2 + 2e y , dy = x [ y ]2x^2 - 2^x^2 + 2e - 2 [ y^22 ]2x^2 - 2^x^2 + 2e = x ( (x^2 + 2e) - (2x^2 - 2) ) - ( (x^2 + 2e)^2 - (2x^2 - 2)^2 ) = x ( -x^2 + 2e + 2 ) - ( (x^4 + 4e x^2 + 4e^2) - (4x^4 - 8x^2 + 4) ) = x (-x^2 + 2e + 2) - (x^4 + 4e x^2 + 4e^2 - 4x^4 + 8x^2 - 4) = -x^3 + 2e x + 2x - (-3x^4 + 12e x^2 + 4e^2 - 4)

Passo 7

Simplificando:
= -x^3 + 2e x + 2x + 3x^4 - 12e x^2 - 4e^2 + 4 = 3x^4 - x^3 - 12e x^2 + (2e + 2)x - 4e^2 + 4

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x de -raiz2e + 2 a raiz2e + 2:
integral-raiz2e + 2^raiz2e + 2 ( 3x^4 - x^3 - 12e x^2 + (2e + 2)x - 4e^2 + 4 ) dx
Observando que as funções ímpares (como x^3 e x) integradas sobre um intervalo simétrico em torno de zero se anulam, restando apenas as funções pares:
= integral-raiz2e + 2^raiz2e + 2 ( 3x^4 - 12e x^2 - 4e^2 + 4 ) dx = 2 integral0^raiz2e + 2 ( 3x^4 - 12e x^2 - 4e^2 + 4 ) dx

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
2 [ 3x^55 - 12e x^33 - 4e^2x + 4x ]0^raiz2e + 2 = 2 ( 3(raiz2e + 2)^55 - 4e (raiz2e + 2)^3 - 4e^2 raiz2e + 2 + 4 raiz2e + 2 )

Passo 10

Simplificando ainda mais:
= 2 raiz2e + 2 ( 3(2e + 2)^25 - 4e (2e + 2) - 4e^2 + 4 )

Passo 11

Vamos calcular os termos dentro do parênteses:
3(2e + 2)^25 = 3(4e^2 + 8e + 4)5 = 12e^2 + 24e + 125 -4e (2e + 2) = -8e^2 - 8e -4e^2 + 4
Somando tudo:
12e^2 + 24e + 125 - 8e^2 - 8e - 4e^2 + 4 = 12e^2 + 24e + 12 - 40e^2 - 40e + 205 = -28e^2 - 16e + 325

Passo 12

Substituindo de volta:
2 raiz2e + 2 ( -28e^2 - 16e + 325 ) = 2(-28e^2 - 16e + 32)5 raiz2e + 2 = -56e^2 - 32e + 645 raiz2e + 2

Resposta

A integral dupla é igual a -56e^2 - 32e + 645 raiz2e + 2.

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