Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária de primeira ordem que você enviou:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem, ou seja, uma equação que envolve a primeira derivada de
em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma substituição que torne a equação mais fácil de resolver. Uma boa estratégia aqui é usar a substituição:
Isso significa que
. Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
para encontrar
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação original com essas expressões em termos de
:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis
e
para integrar:
Passo 6
Vamos resolver as integrais de cada lado. Começando com a esquerda, fazemos uma substituição para facilitar a integral:
Deixe
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Do lado direito:
Passo 7
Igualando as duas integrais:
Podemos multiplicar ambos os lados por 3 para simplificar:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 8
Vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma nova constante.
Passo 9
Lembre-se que
. Substituindo de volta:
Multiplicando todos os termos por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
Calcule
, onde
é a região limitada por
.
(Reginaldo) Considere a seguinte equação diferencial:
(b) Encontre a solução geral dessa EDO.
(Reginaldo) Considere a equação linear
(a) Mostre que se
e
são soluções da equação, então
também o é.