Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária de primeira ordem que você enviou:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem, ou seja, uma equação que envolve a primeira derivada de em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma substituição que torne a equação mais fácil de resolver. Uma boa estratégia aqui é usar a substituição:
Isso significa que . Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação original com essas expressões em termos de :

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar :
Então,

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis e para integrar:

Passo 6

Vamos resolver as integrais de cada lado. Começando com a esquerda, fazemos uma substituição para facilitar a integral:
Deixe , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Do lado direito:

Passo 7

Igualando as duas integrais:
Podemos multiplicar ambos os lados por 3 para simplificar:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 8

Vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Onde é uma nova constante.

Passo 9

Lembre-se que . Substituindo de volta:
Multiplicando todos os termos por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo:
Calcule , onde é a região limitada por .
(Reginaldo) Considere a seguinte equação diferencial: (b) Encontre a solução geral dessa EDO.
(Reginaldo) Considere a equação linear (a) Mostre que se e são soluções da equação, então também o é.