Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
(m) integral0^1 1raiz4-x^2 d x (Resposta: pi6 )

Passo 1

Vamos calcular a integral definida . Essa questão está relacionada ao conteúdo de cálculo integral, especificamente no uso de substituições trigonométricas para resolver integrais envolvendo expressões quadráticas. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar uma substituição trigonométrica adequada.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador se assemelha à expressão , cujo formato sugere o uso de uma substituição trigonométrica. Nesse caso, podemos escolher , onde .

Passo 3

Fazendo a substituição integral0^1 1raiz4 - x^2 , dx = integraltheta0^theta1 1raiz4 - 4 sin^2 theta cdot 2 cos theta , dtheta , temos que raiz4 - 4 sin^2 theta = 2 cos theta . Substituindo na integral, temos:
Simplificando o denominador:

Passo 4

Substituindo de volta na integral, temos:
integraltheta0^theta1 12 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta = integraltheta0^theta1 1 , dtheta = theta gr|theta0^theta1

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os limites de integração 0 = 2 sin theta0 implies theta0 = 0 e 1 = 2 sin theta1 implies sin theta1 = 12 implies theta1 = pi6 . Quando :
Quando :

Passo 6

Substituindo os limites na expressão integrada:
theta gr|0^pi6 = pi6 - 0 = pi6

Resposta

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