Calcule a área da região compreendida entre as curvas e . (Resposta: )
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Calcule a área da região delimitada pelas curvas e . (Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas curvas, e , e queremos encontrar a área da região que está entre elas. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre integrais e como calcular a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se interceptam, ou seja, quais valores de fazem com que . Vamos resolver a equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Rearranjando:
Fatorando:
Então, as soluções são e . Esses são os pontos onde as curvas se interceptam.
Passo 3
Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos determinar qual das funções está por cima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de entre 0 e 1, por exemplo, :
Como , a função está acima de no intervalo de 0 a 1.
Passo 4
A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença delas no intervalo de 0 a 1:
Substituindo as funções:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 1:
Passo 6
Vamos resolver o segundo exercício. Temos as curvas e , e queremos encontrar a área da região delimitada por elas. Para isso, também vamos usar integrais e determinar onde as curvas se interceptam.
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo:
Somando em ambos os lados:
Fatorando:
As soluções são e . Esses são os pontos onde as curvas se encontram.
Passo 8
Agora, precisamos saber qual função está acima da outra no intervalo de a . Vamos escolher um valor de nesse intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima de nesse intervalo.
Passo 9
A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença delas no intervalo de a 0: