Calcule a área da região compreendida entre as curvas e . (Resposta: )
9
Calcule a área da região delimitada pelas curvas e . (Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas curvas, e , e queremos encontrar a área da região que está entre elas. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre integrais e como calcular a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se interceptam, ou seja, quais valores de fazem com que . Vamos resolver a equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Rearranjando:
Fatorando:
Então, as soluções são e . Esses são os pontos onde as curvas se interceptam.

Passo 3

Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos determinar qual das funções está por cima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de entre 0 e 1, por exemplo, :
Como , a função está acima de no intervalo de 0 a 1.

Passo 4

A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença delas no intervalo de 0 a 1:
Á
Substituindo as funções:
Á
Simplificando:
Á

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 1:

Passo 6

Vamos resolver o segundo exercício. Temos as curvas e , e queremos encontrar a área da região delimitada por elas. Para isso, também vamos usar integrais e determinar onde as curvas se interceptam.

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo:
Somando em ambos os lados:
Fatorando:
As soluções são e . Esses são os pontos onde as curvas se encontram.

Passo 8

Agora, precisamos saber qual função está acima da outra no intervalo de a . Vamos escolher um valor de nesse intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 9

A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença delas no intervalo de a 0:
Á
Substituindo as funções:
Á
Simplificando:
Á

Passo 10

Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos essa expressão de a 0:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é .

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14
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