Calcule a área da região compreendida entre as curvas
e
. (Resposta:
)
9
Calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
. (Resposta:
9
Calcule a área da região delimitada pelas curvas
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas curvas,
e
, e queremos encontrar a área da região que está entre elas. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre integrais e como calcular a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se interceptam, ou seja, quais valores de
fazem com que
. Vamos resolver a equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Rearranjando:
Fatorando:
Então, as soluções são
e
. Esses são os pontos onde as curvas se interceptam.
Passo 3
Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos determinar qual das funções está por cima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de
entre 0 e 1, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
no intervalo de 0 a 1.
Passo 4
A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença delas no intervalo de 0 a 1:
Substituindo as funções:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 1:
Passo 6
Vamos resolver o segundo exercício. Temos as curvas
e
, e queremos encontrar a área da região delimitada por elas. Para isso, também vamos usar integrais e determinar onde as curvas se interceptam.
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo:
Somando
em ambos os lados:
Fatorando:
As soluções são
e
. Esses são os pontos onde as curvas se encontram.
Passo 8
Agora, precisamos saber qual função está acima da outra no intervalo de
a
. Vamos escolher um valor de
nesse intervalo, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 9
A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença delas no intervalo de
a 0:
Substituindo as funções:
Simplificando:
Passo 10
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos essa expressão de
a 0:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
.