Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular quatro integrais de funções racionais, ou seja, frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais como divisão polinomial e frações parciais. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeira Integral:
Primeiro, percebemos que o grau do numerador (grau 2) é igual ao do denominador (grau 2). Quando isso acontece, a gente pode começar fazendo uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Vamos dividir por :
Agora, temos:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, vamos fatorar o denominador:
Agora, vamos usar frações parciais para decompor:
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então:
Agora, integraremos:
Juntando tudo:
Passo 3
Segunda Integral:
Aqui, o denominador é , que não fatoramos mais, e o numerador é . Vamos separar a fração:
Agora, integramos cada parte separadamente.
Para , usamos substituição:
Deixe , então , ou seja, . Assim:
Para , reconhecemos a forma padrão :
Aqui, , então:
Juntando tudo:
Passo 4
Terceira Integral:
Aqui, o denominador é . Vamos usar frações parciais para decompor a fração.
Primeiro, notamos que o denominador é 2(x^2 + 2)(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = Ax - 2 + Bx + Cx^2 + 2x + 4 , que é uma diferença de cubos: 2(x^2 + 2) = A(x^2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x - 2) .
Vamos verificar se podemos simplificar a fração. O numerador é 2x^2 + 4 = A x^2 + 2A x + 4A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C , que podemos reescrever como 2x^2 + 4 = (A + B) x^2 + (2A - 2B + C) x + (4A - 2C) .