Calcule as integrais das funções racionais abaixo
& integral x^2+x+1x^2-x d x & integral x+1x^2+9 d x & integral 2x^3(x+2) d x & integral 2 x^2+4x^3-8 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular quatro integrais de funções racionais, ou seja, frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais como divisão polinomial e frações parciais. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeira Integral: x^2 + x + 1x^2 - x = 1 + 2x + 1x^2 - x
Primeiro, percebemos que o grau do numerador (grau 2) é igual ao do denominador (grau 2). Quando isso acontece, a gente pode começar fazendo uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Vamos dividir integral x^2 + x + 1x^2 - x , dx = integral 1 , dx + integral 2x + 1x^2 - x , dx por integral 1 , dx = x :
x^2 - x = x(x - 1)
Agora, temos:
2x + 1x(x - 1) = Ax + Bx - 1
A primeira integral é simples:
2x + 1 = A(x - 1) + Bx
Para a segunda integral, vamos fatorar o denominador:
2(0) + 1 = A(-1) + B(0) Rightarrow A = -1
Agora, vamos usar frações parciais para decompor:
2(1) + 1 = A(0) + B(1) Rightarrow B = 3
Multiplicando ambos os lados por 2x + 1x(x - 1) = -1x + 3x - 1 :
integral -1x , dx + integral 3x - 1 , dx = -ln|x| + 3ln|x - 1|
Escolhendo integral x^2 + x + 1x^2 - x , dx = x - ln|x| + 3ln|x - 1| + C :
Escolhendo :
Então:
Agora, integraremos:
Juntando tudo:

Passo 3

Segunda Integral: x + 1x^2 + 9 = xx^2 + 9 + 1x^2 + 9
Aqui, o denominador é integral xx^2 + 9 , dx = 12 ln|x^2 + 9| , que não fatoramos mais, e o numerador é integral 1x^2 + 9 , dx = 13 arctan(x3) . Vamos separar a fração:
integral x + 1x^2 + 9 , dx = 12 ln|x^2 + 9| + 13 arctan(x3) + C
Agora, integramos cada parte separadamente.
Para , usamos substituição:
Deixe , então , ou seja, . Assim:
Para , reconhecemos a forma padrão :
Aqui, , então:
Juntando tudo:

Passo 4

Terceira Integral: 2x^3(x + 2) = Ax + Bx^2 + Cx^3 + Dx + 2
Aqui, o denominador é 2 = A x^2(x + 2) + B x(x + 2) + C(x + 2) + D x^3 . Vamos usar frações parciais para decompor a fração.
Proponha:
2 = A x^3 + 2A x^2 + B x^2 + 2B x + C x + 2C + D x^3
Multiplicando ambos os lados por 2 = (A + D) x^3 + (2A + B) x^2 + (2B + C) x + 2C :
A + D = 0 2A + B = 0 2B + C = 0 2C = 2
Expandindo:
2x^3(x + 2) = 14x + -12x^2 + 1x^3 + -14x + 2
Agrupando termos semelhantes:
integral 2x^3(x + 2) , dx = 14 ln|x| + 12 1x - 12x^2 - 14 ln|x + 2| + C
Agora, igualando os coeficientes:
Resolvendo:
Da última equação:
De
De
De
Então, a decomposição fica:
Agora, integraremos cada termo:

Passo 5

Quarta Integral: 2x^2 + 4x^3 - 8 = 2(x^2 + 2)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Primeiro, notamos que o denominador é 2(x^2 + 2)(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = Ax - 2 + Bx + Cx^2 + 2x + 4 , que é uma diferença de cubos: 2(x^2 + 2) = A(x^2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x - 2) .
Vamos verificar se podemos simplificar a fração. O numerador é 2x^2 + 4 = A x^2 + 2A x + 4A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C , que podemos reescrever como 2x^2 + 4 = (A + B) x^2 + (2A - 2B + C) x + (4A - 2C) .
A fração fica:
A + B = 2 2A - 2B + C = 0 4A - 2C = 4
Vamos usar frações parciais:
2A - 2(2 - A) + (2A - 2) = 0 2A - 4 + 2A + 2A - 2 = 0 6A - 6 = 0 Rightarrow A = 1
Multiplicando ambos os lados por B = 2 - 1 = 1 C = 2(1) - 2 = 0 :
2(x^2 + 2)(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 1x - 2 + xx^2 + 2x + 4
Expandindo:
ln|x - 2|
Agrupando termos semelhantes:
x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3
Igualando os coeficientes:
x = (2x + 2)2 - 1
Resolvendo:
Da terceira equação: integral xx^2 + 2x + 4 , dx = 12 ln|x^2 + 2x + 4| - integral 1x^2 + 2x + 4 , dx
Da primeira equação: integral 1(x + 1)^2 + 3 , dx = 1raiz3 arctan(x + 1raiz3)
Substituindo integral xx^2 + 2x + 4 , dx = 12 ln|x^2 + 2x + 4| - 1raiz3 arctan(x + 1raiz3) e integral 2x^2 + 4x^3 - 8 , dx = ln|x - 2| + 12 ln|x^2 + 2x + 4| - 1raiz3 arctan(x + 1raiz3) + C na segunda equação:
Então:
Então, a decomposição fica:
Agora, vamos integrar cada termo:
Para :
Para :
Vamos completar o quadrado no denominador:
Faça a substituição , então . Mas precisamos ajustar:
Podemos reescrever o numerador:
Então:
A segunda parte é:
Então, juntando tudo:
Portanto, a integral original fica:

Resposta

Resumindo as integrais calculadas:

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Calcule as seguintes integrais impróprias
r integral0^infty e^-2 x cos x d x=lim b infty integral0^b e^-2 x cos x d x integral0^infty e^-3 x sen 2 x d x=lim b infty integral0^b e^-3 x sen 2 x d x integral0^1 x d xraiz1-x^2=lim a 1-1- integral0^a x d xraiz1-x^2
Às 13 horas, um navio A está 50 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o norte a 35 km/h, e o navio B está indo para o leste a 15 km/h. Qual a velocidade em que eles se afastam às 16 horas? (suponha uma aproximação plana para a região onde estão os navios).
Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Duas famílias de curvas são chamadas trajetórias ortogonais se cada curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família. Mostre que os pares de famílias de curvas abaixo são trajetórias ortogonais
  • x^2 + y^2 = r^2, a*x + b*y = 0, a, b, r constantes.
  • y = c x^2, x^2 + 2 y^2 = k, k, c constantes.
Se y1 é solução da equação homogênea
y' + p(x) y = 0
e y2 é solução da equação não-homogênea
y' + p(x) y = g(x)
mostre que y = y1 + y2 é solução da equação não-homogênea.