Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Duas famílias de curvas são chamadas trajetórias ortogonais se cada curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família. Mostre que os pares de famílias de curvas abaixo são trajetórias ortogonais
-
constantes.
-
constantes.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre trajetórias ortogonais, que são famílias de curvas onde qualquer curva de uma família é perpendicular a todas as curvas da outra família no ponto de interseção. Aqui, vamos analisar dois pares de famílias de curvas e mostrar que elas são trajetórias ortogonais. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das equações das curvas para encontrar as inclinações das retas tangentes e verificar se elas são perpendiculares (ou seja, se o produto de suas inclinações é -1).
Passo 2
Primeiro Par de Famílias de Curvas:
- Família 1:
(Círculos de raio ) - Família 2:
(Retas passando pela origem)
Vamos encontrar as derivadas de cada família.
Passo 3
Derivada da Família 1 (
):
Para encontrar a derivada, derivamos ambos os lados em relação a
:
Resolvendo para
:
Inclinação da Tangente à Família 1:
Passo 4
Derivada da Família 2 (
):
Derivando ambos os lados em relação a
:
Resolvendo para
:
Inclinação da Tangente à Família 2:
Passo 5
Verificando a Ortogonalidade:
Para que as famílias sejam ortogonais, o produto das inclinações deve ser igual a -1:
Para que seja igual a -1:
Isso mostra que, no ponto de interseção das curvas, as retas tangentes são perpendiculares.
Passo 6
Segundo Par de Famílias de Curvas:
- Família 1:
(Parábolas) - Família 2:
(Elipses)
Vamos encontrar as derivadas de cada família.
Passo 7
Derivada da Família 1 (
):
Derivando ambos os lados em relação a
:
Inclinação da Tangente à Família 1:
Passo 8
Derivada da Família 2 (
):
Derivando ambos os lados em relação a
:
Resolvendo para
:
Inclinação da Tangente à Família 2:
Passo 9
Verificando a Ortogonalidade:
Para que as famílias sejam ortogonais, o produto das inclinações deve ser igual a -1:
Substituindo
da Família 1:
Portanto, o produto das inclinações é -1, confirmando que as famílias de curvas são ortogonais.
Resposta
As duas famílias de curvas fornecidas são trajetórias ortogonais, pois em cada ponto de interseção, as retas tangentes às curvas de uma família são perpendiculares às retas tangentes das curvas da outra família.
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Se
é solução da equação homogênea
e
é solução da equação não-homogênea
mostre que
é solução da equação não-homogênea.
Encontre a solução do problema de valor inicial (PVI) em cada uma das equações abaixo:
a.
b. .
c. .
d. .
a.
b.
c.
d.