Calcule as integrais indefinidas: integral x^2x^2+x-2 d x Resposta: x-43 ln |x+2|+13 ln |x-1|+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções racionais, que são frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e usar técnicas de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador pelo denominador para simplificar a integrand. Isso porque o grau do numerador ( x^2x^2+x-2 = 1 + -x + 2x^2+x-2 ) é igual ao grau do denominador ( ).
Aqui, subtraímos do numerador , o que nos dá como o novo numerador.

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral 1 , dx + integral -x + 2x^2+x-2 , dx
A primeira integral é simples de resolver, e a segunda vamos trabalhar com ela usando frações parciais.

Passo 4

Vamos fatorar o denominador x^2+x-2 = (x + 2)(x - 1) :
-x + 2(x + 2)(x - 1)
Então, nossa fração fica:
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais.

Passo 5

Assumimos que:
-x + 2(x + 2)(x - 1) = Ax + 2 + Bx - 1
Multiplicando ambos os lados por -x + 2 = A(x - 1) + B(x + 2) para eliminar os denominadores:

Passo 6

Vamos encontrar os valores de -1 + 2 = A(0) + B(3) implies 1 = 3B implies B = 13 e 2 + 2 = A(-3) + B(0) implies 4 = -3A implies A = -43 . Escolhemos valores de que simplificam a equação:
Para :
Para :

Passo 7

Substituindo -x + 2(x + 2)(x - 1) = -43 cdot 1x + 2 + 13 cdot 1x - 1 e na decomposição:

Passo 8

Agora, voltamos à integral original:
integral 1 , dx + integral ( -43 cdot 1x + 2 + 13 cdot 1x - 1 ) , dx
Integrando termo a termo:
x - 43 ln|x + 2| + 13 ln|x - 1| + C

Resposta

x -43 ln |x+2|+13 ln |x-1|+C

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