Calcule as integrais indefinidas: integral x-2x^2+x d x Resposta: 3 ln |x+1|-2 ln |x|+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integral racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + x = x(x + 1) . Isso significa encontrar os fatores que multiplicam para dar esse polinômio. Podemos fatorar assim:
integral x-2x(x + 1) , dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Com o denominador fatorado, vamos decompor a fração x-2x(x + 1) = Ax + Bx + 1 em frações parciais. Isso significa expressá-la como:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x - 2 = A(x + 1) + Bx para eliminar os denominadores:
x - 2 = A x + A + B x = (A + B)x + A
Agora, vamos expandir e reunir os termos:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para o termo 1 = A + B :
-2 = A
Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
A = -2
Substituindo na primeira equação:
1 = -2 + B Rightarrow B = 3

Passo 7

Agora que temos os valores de x-2x(x + 1) = -2x + 3x + 1 e , podemos escrever a fração original como:

Passo 8

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral -2x , dx + integral 3x + 1 , dx = -2 ln|x| + 3 ln|x + 1| + C

Resposta

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