Encontre o domínio da função sigma com valores vetoriais e suas equações paramétricas
(a) sigma(t) = (1/t) * i + raiz(4 - t) * j
(b) sigma(t) = (t^2 + 3)i + (t - 2)j
© sigma(t) = arcsen(t) i + arccos(t) j
(d) sigma(t) = ln(t+1) i + arctan(t) j
(e) sigma(t) = raiz(t^2 - 9) * i + raiz(t^2 + 2 * t - 8) * j
(f) sigma(t) = raiz(t - 5) * i + raiz(5 - t) * j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o domínio de funções vetoriais dadas, ou seja, descobrir para quais valores de as funções estão bem definidas. Além disso, vamos escrever as equações paramétricas dessas funções. Vamos precisar lembrar das condições de existência das funções matemáticas envolvidas, como raízes quadradas, funções inversas, logaritmos, etc.

Passo 2

Vamos começar com a letra (a):
Para encontrar o domínio dessa função, precisamos garantir que ambas as componentes estejam definidas.

Passo 3

Primeiro, olhamos para . Sabemos que uma fração está definida quando o denominador é diferente de zero. Então:

Passo 4

Agora, analisamos . A raiz quadrada só está definida para números maiores ou iguais a zero:

Passo 5

Unindo as duas condições:
Então o domínio para a letra (a) é:

Passo 6

Vamos para a letra (b):
Aqui, temos polinômios em ambas as componentes. Polinômios estão definidos para todos os números reais.

Passo 7

Portanto, o domínio para a letra (b) é:

Passo 8

Agora, a letra ©:
As funções e estão definidas apenas para no intervalo .

Passo 9

Então, o domínio para a letra © é:

Passo 10

Vamos para a letra (d):
Primeiro, analisamos . O logaritmo natural está definido para argumentos positivos:
A função está definida para todos os reais.

Passo 11

Portanto, o domínio para a letra (d) é:

Passo 12

Agora, a letra (e):
Precisamos garantir que ambas as raízes quadradas estejam definidas.

Passo 13

Primeiro, para :

Passo 14

Segundo, para :
Vamos resolver a inequação . Factorando ou usando a fórmula de Bhaskara:
Então, ou . A inequação será válida para:

Passo 15

Agora, precisamos que ambas as condições sejam satisfeitas simultaneamente:
Simplificando:

Passo 16

Então, o domínio para a letra (e) é:

Passo 17

Por fim, a letra (f):
Precisamos que ambas as raízes quadradas estejam definidas.

Passo 18

Para :
Para :

Passo 19

Então, para que ambas as condições sejam verdadeiras:

Resposta

Os domínios das funções vetoriais são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)

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