Calcule as integrais indefinidas: integral(raiz[3]x^2+13 x) d x Resposta: 35 x^5 / 3+13 ln |x|+c

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de raiz[3]x^2 + dfrac13x em relação a x. Para resolver isso, vamos usar as regras básicas de integração, especificamente a regra da potência e a integração de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para torná-la mais fácil de integrar. A raiz cúbica de x^2 pode ser escrita como x^2/3. Assim, a expressão dentro da integral fica:
x^2/3 + 13x

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Vamos começar com o primeiro termo, x^2/3. A regra da potência para integração diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde n neq -1.

Passo 4

Aplicando a regra da potência ao termo x^2/3, temos:
integral x^2/3 , dx = x^(2/3)+1(2/3)+1 + C = x^5/35/3 + C = 35 x^5/3 + C

Passo 5

Agora, vamos integrar o segundo termo, dfrac13x. Podemos fatorar o dfrac13 fora da integral:
integral 13x , dx = 13 integral 1x , dx
A integral de dfrac1x é ln|x| + C.

Passo 6

Portanto, temos:
13 integral 1x , dx = 13 ln |x| + C

Resposta

A integral indefinida é:
35 x^5/3 + 13 ln |x| + C

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