Determine a soma das sentenças verdadeiras.
Sentença 1) Se |f(x) - f(1)| <= 59 |x - 1|, para todo x em R, então, necessariamente, f é contínua em x0 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar a soma das sentenças verdadeiras. Nesse caso, temos a Sentença 1 que diz:
“Se , para todo , então, necessariamente, é contínua em .”
Vamos utilizar conceitos de continuidade de funções para analisar se essa sentença é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a sentença está nos dizendo. Ela estabelece que a diferença entre e é sempre menor ou igual a vezes a diferença entre e . Isso pode ser escrito como:
Essa condição lembra a definição de continuidade na matemática. De forma simplificada, uma função é contínua em um ponto se, à medida que se aproxima de , se aproxima de . A desigualdade dada garante que a mudança em está controlada pela mudança em , o que impede “saltos” ou “quebras” na função.
Mais especificamente, a condição indica que à medida que se aproxima de , se aproxima de de forma proporcional. Isso satisfaz a definição de continuidade no ponto .
Portanto, a Sentença 1 é verdadeira porque a condição dada assegura que é contínua em .

Resposta

A soma das sentenças verdadeiras é 1.

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