Calcule as integrais indefinidas: integral xpi x+2 d x Resposta: xpi-2pi^2 ln |pi x+2|+c

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de uma função que é uma fração envolvendo no numerador e no denominador. O conteúdo que vamos usar aqui envolve integração de funções racionais, especialmente técnicas de substituição e divisão algébrica.

Passo 2

A integral que vamos calcular é:
integral xpi x + 2 , dx
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição, que facilita a integração transformando a expressão em termos de uma nova variável.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = pi x + 2
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a dudx = pi Rightarrow dx = dupi para encontrar :

Passo 4

Precisamos também expressar x = u - 2pi em termos de . A partir da substituição :

Passo 5

Agora, substituímos integral u - 2piu cdot dupi = integral u - 2pi cdot u cdot dupi = integral ( 1pi^2 - 2pi^2 u ) du e na integral original:

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes:
integral 1pi^2 , du - integral 2pi^2 u , du
Integrando cada termo:
1pi^2 integral du - 2pi^2 integral 1u , du = upi^2 - 2pi^2 ln |u| + C

Passo 7

Finalmente, substituímos pi x + 2pi^2 - 2pi^2 ln |pi x + 2| + C = xpi + 2pi^2 - 2pi^2 ln |pi x + 2| + C de volta em termos de :
Como é uma constante, podemos absorvê-la no termo constante .

Resposta

xpi - 2pi^2 ln |pi x + 2| + C

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