Utilize integração por partes para calcular: integral1^e x^3(ln x)^2 d x Resposta: 532 e^4-132

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . O conteúdo que vamos usar aqui é integração por partes, uma técnica que ajuda a integrar o produto de duas funções. Vamos precisar identificar partes da nossa integral que correspondem a e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser u = (ln x)^2 e dv = x^3 , dx e . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica quando derivamos, e como o resto. Então, vamos deixar:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx para encontrar v = integral x^3 , dx = x^44 e integrar para encontrar .
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral1^e x^3 (ln x)^2 , dx = x^44 (ln x)^2 |1^e - integral1^e x^44 cdot 2 ln xx , dx
Simplificando a integral restante:
= x^44 (ln x)^2 |1^e - 12 integral1^e x^3 ln x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral u = ln x e dv = x^3 , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa nova integral.
Escolhemos:
du = 1x , dx e v = x^44
Derivando e integrando:
integral1^e x^3 ln x , dx = x^44 ln x |1^e - integral1^e x^44 cdot 1x , dx
Aplicando a fórmula:
= x^44 ln x |1^e - 14 integral1^e x^3 , dx
Simplificando:
= x^44 ln x |1^e - 14 x^44 |1^e
Integrando:
= e^44 cdot 1 - 14 ( e^44 - 14 ) = e^44 - e^416 + 116 = 3e^416 + 116

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
integral1^e x^3 (ln x)^2 , dx = x^44 (ln x)^2 |1^e - 12 ( 3e^416 + 116 )
Calculando os limites:
x^44 (ln x)^2 |1^e = e^44 cdot 1^2 - 1^44 cdot 0 = e^44
Então:
= e^44 - 12 ( 3e^416 + 116 ) = e^44 - 3e^432 - 132 = 8e^432 - 3e^432 - 132 = 5e^432 - 132

Resposta

532 e^4 - 132

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