Calcule as integrais: integral sec ^6(x) tg 9^4(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente o cosseno e a tangente. Para resolver essa integral, vamos precisar usar substituição trigonométrica e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Sabemos também que a derivada de é . Isso vai nos ajudar a escolher uma substituição adequada.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, . Precisamos expressar toda a integral em termos de .

Passo 4

Observando a integral original integral tan^4(x) cdot sec^4(x) cdot sec^2(x) , dx , podemos reescrever integral tan^4(x) cdot sec^4(x) cdot du como . Assim, temos:
Aqui, . Portanto, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos expressar sec^4(x) = (sec^2(x))^2 = (1 + tan^2(x))^2 = 1 + 2tan^2(x) + tan^4(x) em termos de integral tan^4(x) cdot (1 + 2tan^2(x) + tan^4(x)) , du . Sabemos que , então:
Substituindo isso na integral, temos:

Passo 6

Agora, substituímos integral u^4 cdot (1 + 2u^2 + u^4) , du = integral (u^4 + 2u^6 + u^8) , du por :

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral u^4 , du = u^55
integral 2u^6 , du = 2u^77
integral u^8 , du = u^99
Então, a integral completa é:
u^55 + 2u^77 + u^99 + C

Passo 8

Finalmente, substituímos tan^5(x)5 + 2tan^7(x)7 + tan^9(x)9 + C de volta na expressão:

Resposta

integral sec^6(x) tan^4(x) , dx = tan^5(x)5 + 2tan^7(x)7 + tan^9(x)9 + C

Exercícios relacionados