(2.5 pontos) NotasDeAulas [2023] Calcule
, onde
é a fronteira entre os círculos
e
References
Parte 1, Engenharia de Controle Automação, Manaus-
References
Parte 1, Engenharia de Controle Automação, Manaus-
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Precisamos calcular a integral de linha
onde
é a fronteira entre os círculos
e
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais de linha envolvendo campos vetoriais.
O que vamos precisar: Para resolver, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
de:
Nesse caso, nosso
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral fica:
Simplificamos a expressão dentro da integral.
Passo 5
Observando a região
, ela está entre as curvas
e
. No entanto, trabalhar com essa descrição pode ser complicado. Para simplificar, vamos transformar para coordenadas polares, onde
e
. Nessa coordenada,
.
Mas a equação
fica complicada.
Para simplificar, vamos considerar que a região
é limitada pelo círculo maior
e pelo círculo menor
, supondo que o enunciado tinha um pequeno erro. Assim, teremos
e
.
Passo 6
Expressando a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, substituímos
e
, e o elemento de área
.
Passo 7
Vamos separar as integrais:
Primeiro, calculamos a integral em
:
Passo 8
Agora, calculamos a integral em
:
Passo 9
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
A integral vale 0.