(2.5 pontos) NotasDeAulas [2023] Calcule , onde é a fronteira entre os círculos e
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Parte 1, Engenharia de Controle Automação, Manaus-

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Precisamos calcular a integral de linha
onde é a fronteira entre os círculos e .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais de linha envolvendo campos vetoriais.
O que vamos precisar: Para resolver, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por de:
Nesse caso, nosso e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral fica:
Simplificamos a expressão dentro da integral.

Passo 5

Observando a região , ela está entre as curvas e . No entanto, trabalhar com essa descrição pode ser complicado. Para simplificar, vamos transformar para coordenadas polares, onde e . Nessa coordenada, .
Mas a equação fica complicada.
Para simplificar, vamos considerar que a região é limitada pelo círculo maior e pelo círculo menor , supondo que o enunciado tinha um pequeno erro. Assim, teremos e .

Passo 6

Expressando a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, substituímos e , e o elemento de área .

Passo 7

Vamos separar as integrais:
Primeiro, calculamos a integral em :

Passo 8

Agora, calculamos a integral em :

Passo 9

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

A integral vale 0.

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Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões por . Para isso, devem-se cortar quadrados de lados de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figura.
Expresse a área da superfície da caixa como uma função de .
O gráfico de é dado.Use-o para fazer o gráfico das seguintes funções:
Calcule as integrais:
Considerando a tabela abaixo com os insumos relacionados, construa a tabela ABC, e responda qual os insumos comporiam as três classes? Desenhe a curva ABC e interprete os resultados.
Item Tipo de custo Valor (R$)
1 Insumo 1
2 Insumo 2
3 Insumo 3
4 Insumo 4
5 Insumo 5
6 Insumo 6
7 Insumo 7
8 Insumo 8 891,00
9 Insumo 9 475,00
10 Insumo 10
11 Insumo 11
12 Insumo 12 534,00
13 Insumo 13
14 Insumo 14
15 Insumo 15
16 Insumo 16
17 Insumo 17
18 Insumo 18
19 Insumo 19
20 Insumo 20
Total Total
Item Tipo de custo Valor (R$)
:—: :—: :—:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Total