(2.5 pontos) NotasDeAulas [2023] Calcule integralC x e^-2 x d x+(x^4+2 x^2 y^2) d y, onde C é a fronteira entre os círculos x^2 y^2=1 e x^2+y^2=4
References
Parte 1, Engenharia de Controle Automação, Manaus-

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Precisamos calcular a integral de linha
integralC x e^-2 x , dx + (x^4 + 2 x^2 y^2) , dy
onde é a fronteira entre os círculos e .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais de linha envolvendo campos vetoriais.
O que vamos precisar: Para resolver, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial ointC M , dx + N , dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) , dA , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por de:
Nesse caso, nosso e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivada parcial de partial Npartial x = partialpartial x ( x^4 + 2 x^2 y^2 ) = 4x^3 + 4x y^2 em relação a partial Mpartial y = partialpartial y ( x e^-2x ) = 0 :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral fica:
integral duplaD ( 4x^3 + 4x y^2 - 0 ) , dA = integral duplaD 4x (x^2 + y^2) , dA
Simplificamos a expressão dentro da integral.

Passo 5

Observando a região , ela está entre as curvas e . No entanto, trabalhar com essa descrição pode ser complicado. Para simplificar, vamos transformar para coordenadas polares, onde e . Nessa coordenada, .
Mas a equação fica complicada.
Para simplificar, vamos considerar que a região é limitada pelo círculo maior e pelo círculo menor , supondo que o enunciado tinha um pequeno erro. Assim, teremos e .

Passo 6

Expressando a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaD 4x (x^2 + y^2) , dA = integral duplaD 4(r costheta) (r^2) , r , dr , dtheta = 4 integral0^2pi integral1^2 r^4 costheta , dr , dtheta
Aqui, substituímos e , e o elemento de área .

Passo 7

Vamos separar as integrais:
4 integral0^2pi costheta , dtheta cdot integral1^2 r^4 , dr
Primeiro, calculamos a integral em integral1^2 r^4 , dr = [ r^55 ]1^2 = 325 - 15 = 315 :

Passo 8

Agora, calculamos a integral em integral0^2pi costheta , dtheta = [ sintheta ]0^2pi = sin(2pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0 :

Passo 9

Multiplicando os resultados das integrais:
4 cdot 0 cdot 315 = 0

Resposta

A integral vale 0.

Exercícios relacionados