(2.5 pontos) NotasDeAulas [2023] Calcule
, onde
é a fronteira entre os círculos
e
References
Parte 1, Engenharia de Controle Automação, Manaus-
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Parte 1, Engenharia de Controle Automação, Manaus-
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Precisamos calcular a integral de linha
onde
é a fronteira entre os círculos
e
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais de linha envolvendo campos vetoriais.
O que vamos precisar: Para resolver, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
de:
Nesse caso, nosso
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral fica:
Simplificamos a expressão dentro da integral.
Passo 5
Observando a região
, ela está entre as curvas
e
. No entanto, trabalhar com essa descrição pode ser complicado. Para simplificar, vamos transformar para coordenadas polares, onde
e
. Nessa coordenada,
.
Mas a equação
fica complicada.
Para simplificar, vamos considerar que a região
é limitada pelo círculo maior
e pelo círculo menor
, supondo que o enunciado tinha um pequeno erro. Assim, teremos
e
.
Passo 6
Expressando a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, substituímos
e
, e o elemento de área
.
Passo 7
Vamos separar as integrais:
Primeiro, calculamos a integral em
:
Passo 8
Agora, calculamos a integral em
:
Passo 9
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
A integral vale 0.
Exercícios relacionados
Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões
por
. Para isso, devem-se cortar quadrados de lados
de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figura.
Expresse a área da superfície
da caixa como uma função de
.
O gráfico de
é dado.Use-o para fazer o gráfico das seguintes funções:
Calcule as integrais:
Considerando a tabela abaixo com os insumos relacionados, construa a tabela ABC, e responda qual os insumos comporiam as três classes? Desenhe a curva ABC e interprete os resultados.
Item | Tipo de custo | Valor (R$) |
---|---|---|
1 | Insumo 1 |
|
2 | Insumo 2 |
|
3 | Insumo 3 |
|
4 | Insumo 4 |
|
5 | Insumo 5 |
|
6 | Insumo 6 |
|
7 | Insumo 7 |
|
8 | Insumo 8 | 891,00 |
9 | Insumo 9 | 475,00 |
10 | Insumo 10 |
|
11 | Insumo 11 |
|
12 | Insumo 12 | 534,00 |
13 | Insumo 13 |
|
14 | Insumo 14 |
|
15 | Insumo 15 |
|
16 | Insumo 16 |
|
17 | Insumo 17 |
|
18 | Insumo 18 |
|
19 | Insumo 19 |
|
20 | Insumo 20 |
|
Total | Total |
|
Item | Tipo de custo | Valor (R$) |
:—: | :—: | :—: |
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 | ||
11 | ||
12 | ||
13 | ||
14 | ||
15 | ||
16 | ||
17 | ||
18 | ||
19 | ||
20 | ||
Total |